المحتوى

• لتخطو
• طريقة 1 من 2: سحب الجذور بالعوامل الأولية
• الطريقة 2 من 2: إيجاد الجذور التربيعية بدون آلة حاسبة
• مع القسمة المطولة
• افهم الإجراء
• نصائح
• تحذيرات

قبل ظهور الآلات الحاسبة ، كان على كل من الطلاب والأساتذة حساب الجذور التربيعية بالقلم والورق. تم تطوير تقنيات مختلفة في ذلك الوقت للتعامل مع هذه المهمة الصعبة في بعض الأحيان ، بعضها يعطي تقديرًا تقريبيًا والبعض الآخر يحسب القيمة الدقيقة. تابع القراءة لمعرفة كيفية إيجاد الجذر التربيعي لرقم في بضع خطوات سهلة.

لتخطو

طريقة 1 من 2: سحب الجذور بالعوامل الأولية

1. قسّم رقمك إلى عوامل قوة. تستخدم هذه الطريقة عوامل الرقم للعثور على الجذر التربيعي لرقم (اعتمادًا على الرقم ، يمكن أن يكون إجابة دقيقة أو تقديرًا). ال عوامل من رقم معين هي أي سلسلة من الأرقام التي يتم ضربها معًا لتكوين هذا الرقم المحدد. على سبيل المثال ، يمكنك القول أن عوامل 8 تساوي 2 و 4 لأن 2 × 4 = 8. المربعات الكاملة ، من ناحية أخرى ، هي أعداد صحيحة ناتجة عن حاصل ضرب أعداد صحيحة أخرى. على سبيل المثال ، 25 و 36 و 49 هي مربعات كاملة لأنها تساوي 5 و 6 و 7. على التوالي عوامل القوة الثانية ، كما ستفهم ، هي عوامل هي أيضًا مربعات كاملة. لإيجاد جذر تربيعي باستخدام العوامل الأولية ، حاول أولاً قسمة الرقم على عوامل القوة الثانية.
   • خذ المثال التالي. سنجد الجذر التربيعي لـ 400. بادئ ذي بدء ، نقسم الرقم إلى عوامل قوة. نظرًا لأن 400 من مضاعفات 100 ، فنحن نعلم أنه يمكن القسمة على 25 بالتساوي - مربع كامل. يخبرنا التدوين السريع عن ظهر قلب أن 400/25 = 16.16 هي أيضًا مربع كامل. إذن العوامل التكعيبية لـ 400 هي 25 و 16 لأن 25 × 16 = 400.
   • نكتب هذا على النحو التالي: مربع (400) = مربع (25 × 16)
2. خذ الجذور التربيعية لمعاملات القوة الثانية. تنص قاعدة حاصل الضرب في الجذور التربيعية على ذلك لأي عدد معطى أ و بالتربيع (أ × ب) = المربع (أ) × المربع (ب). بسبب هذه الخاصية ، يمكننا الآن أخذ الجذور التربيعية لعوامل المربعات وضربها معًا للحصول على الإجابة.
   • في مثالنا ، نأخذ الجذور التربيعية للرقمين 25 و 16. انظر أدناه:
     • سكرت (25 × 16)
     • سكرت (25) × مربع (16)
     • 5 × 4 = 20
3. إذا كان الرقم لا يمكن تحليله بشكل كامل ، فقم بتبسيطه. في الواقع ، لن تكون الأرقام التي تريد تحديد الجذور التربيعية لها أرقامًا مقربة لطيفة مع مربعات جميلة مثل 400. في هذه الحالات ، قد لا يكون من الممكن الحصول على عدد صحيح كإجابة. بدلاً من ذلك ، باستخدام جميع عوامل القوة التي يمكنك إيجادها ، يمكنك تحديد الإجابة على أنها جذر تربيعي أصغر وأسهل في الاستخدام. يمكنك القيام بذلك عن طريق تقليل الرقم إلى مجموعة من عوامل الطاقة وعوامل أخرى ، ثم تبسيطه.
   • نأخذ الجذر التربيعي لـ 147 كمثال. 147 ليس حاصل ضرب مربعين كاملين ، لذلك لا يمكننا الحصول على قيمة عدد صحيح. لكنه حاصل ضرب مربع كامل ورقم آخر - 49 و 3. يمكننا استخدام هذه المعلومات لكتابة إجابتنا بأبسط العبارات:
     • اس كرت (147)
     • = مربع (49 × 3)
     • = مربع (49) × مربع (3)
     • = 7 × مربع (3)
4. تبسيط ، إذا لزم الأمر. باستخدام الجذر التربيعي بأبسط العبارات ، يسهل عادةً الحصول على تقدير تقريبي للإجابة عن طريق تقدير الجذور التربيعية المتبقية وضربها. تتمثل إحدى طرق تحسين التخمينات في إيجاد المربعات الكاملة على جانبي الرقم في الجذر التربيعي. أنت تعلم أن القيمة العشرية للرقم في جذرك التربيعي تقع في مكان ما بين هذين الرقمين ، لذا يجب أن يكون تخمينك بين هذين الرقمين أيضًا.
   • لنعد إلى مثالنا. بما أن 2 = 4 و 1 = 1 ، فإننا نعلم أن الجذر التربيعي (3) يقع بين 1 و 2 - ربما يكون أقرب إلى 2 من 1. نحن نقدر ذلك 1.7. 7 × 1.7 = 11,9. إذا تحققنا من ذلك باستخدام الآلة الحاسبة ، فسنلاحظ أننا قريبون جدًا من الإجابة: 12,13.
     • يعمل هذا أيضًا مع الأعداد الأكبر. على سبيل المثال ، الجذر التربيعي (35) يقع تقريبًا بين 5 و 6 (ربما يكون أقرب إلى 6). 5 = 25 و 6 = 36.35 تقع بين 25 و 36 ، لذلك سيكون الجذر التربيعي بين 5 و 6. بما أن 35 أقل بقليل من 36 ، يمكننا أن نقول بشيء من الثقة أن الجذر التربيعي لها فقط أقل من 6. التحقق باستخدام الآلة الحاسبة يعطينا إجابة تبلغ حوالي 5.92 - كنا على حق.
5. بدلاً من ذلك ، كخطوة أولى ، يمكنك تبسيط الرقم إلى أقل مضاعف مشترك. البحث عن عوامل القوة ليس ضروريًا إذا كان بإمكانك بسهولة العثور على العوامل الأولية لعدد (العوامل التي هي أيضًا أعداد أولية في نفس الوقت). اكتب العدد بدلالة المضاعفات المشتركة الأصغر. ثم ابحث بين العوامل الخاصة بك عن مطابقة أزواج الأعداد الأولية. عندما تجد عاملين أوليين متطابقين ، احذفهما من الجذر التربيعي والمكان أ من هذه الأعداد خارج علامة الجذر التربيعي.
   • على سبيل المثال ، نحدد الجذر التربيعي لـ 45 باستخدام هذه الطريقة. نعلم أن 45 = 9 × 5 وأن 9 = 3 × 3. يمكننا كتابة الجذر التربيعي على النحو التالي: الجذر التربيعي (3 × 3 × 5). ما عليك سوى حذف 3 ووضع 3 خارج الجذر التربيعي للحصول على جذر تربيعي مبسط: (3) مربع (5). الآن يمكنك بسهولة إجراء تقدير.
   • مثال أخير ؛ نحدد الجذر التربيعي للرقم 88:
     • اس كرت (88)
     • = مربع (2 × 44)
     • = مربع (2 × 4 × 11)
     • = مربع (2 × 2 × 2 × 11). لدينا عدة 2 في الجذر التربيعي. بما أن 2 عدد أولي ، يمكننا إزالة الزوج ووضع 2 خارج الجذر.
     • = الجذر التربيعي بأبسط العبارات هو (2) الجذر التربيعي (2 × 11) أو (2) مربع (2) مربع (11). يمكننا الآن الاقتراب من الجذر التربيعي (2) والصقرية (11) وإيجاد إجابة تقريبية ، إذا أردنا ذلك.

الطريقة 2 من 2: إيجاد الجذور التربيعية بدون آلة حاسبة

مع القسمة المطولة

1. قسّم أرقام رقمك إلى أزواج. تشبه هذه الطريقة القسمة المطولة ، والتي تسمح لك بقسمة بالضبط الجذر التربيعي لرقم رقم برقم. على الرغم من أنه ليس ضروريًا ، فإن تقسيم الرقم إلى أجزاء قابلة للتطبيق يمكن أن يجعل الحل أسهل ، خاصةً إذا كان طويلاً. أولاً ، ارسم خطًا رأسيًا يقسم منطقة العمل إلى منطقتين ، ثم خطًا أقصر بالقرب من أعلى المنطقة اليمنى ، وقسمه إلى جزء علوي أصغر وجزء أكبر أدناه. ثم قسّم الرقم إلى أزواج من الأرقام ، بدءًا من الفاصلة العشرية. بموجب هذه القاعدة ، 79520789182.47897 يصبح "7 95 20 78 91 82.47 89 70". اكتب هذا الرقم في الجزء العلوي الأيسر.
   • كمثال ، لنحسب الجذر التربيعي لـ 780.14. قسّم مساحة عملك على النحو الوارد أعلاه واكتب "7 80 ، 14" في الزاوية اليسرى العليا. لا بأس إذا كان هناك رقم واحد فقط في أقصى اليسار ، بدلاً من رقمين. ثم تكتب الإجابة (الجذر التربيعي لـ 780.14) في الجزء العلوي من المنطقة اليمنى.
2. أوجد أكبر عدد صحيح ن مربعه أقل من أو يساوي الرقم أو الرقم الموجود في أقصى اليسار. أوجد أكبر مربع أصغر من أو يساوي هذا الرقم ، ثم أوجد الجذر التربيعي لهذا المربع. هذا الرقم ن. اكتب ذلك في الجزء العلوي الأيمن واكتب مربع n في الربع السفلي من تلك المنطقة.
   • في مثالنا ، الرقم الموجود في أقصى اليسار هو الرقم 7. نظرًا لأننا نعلم أن 2 = 4 ≤ 7 3 = 9 ، يمكننا القول إن n = 2 لأن هذا هو أكبر عدد صحيح مربعه أقل من أو يساوي 7. اكتب 2 في الربع العلوي الأيمن. هذا هو الرقم الأول من الإجابة. اكتب 4 (مربع 2) في الربع الأيمن السفلي. هذا الرقم مهم للخطوة التالية.
3. اطرح الرقم الذي حسبته من الرقم أو الرقم الموجود في أقصى اليسار. كما هو الحال مع القسمة المطولة ، فإن الخطوة التالية هي طرح المربع من الرقم الذي استخدمناه للتو في الحساب. اكتب هذا الرقم تحت الرقم الموجود في أقصى اليسار واطرحه. اكتب الإجابة أدناه.
   • في مثالنا ، نكتب 4 تحت 7 ونطرحه. هذا يعطي 3 كرد.
4. حرك الرقم التالي لأسفل. ضع هذا بجانب القيمة التي وجدتها في التعديل السابق. اضرب الرقم الموجود في الجزء العلوي الأيمن في اثنين واكتبه في أسفل اليمين. اترك مسافة بجوار الرقم الذي كتبته للتو للمبلغ الذي ستفعله في الخطوة التالية. اكتب هنا "_ × _ =" ".
   • في مثالنا ، الرقم التالي هو "80". اكتب "80" بجوار 3 في الربع الأيسر. ثم اضرب الرقم الموجود في أعلى اليمين في 2. هذا الرقم هو 2 ، لذا 2 × 2 = 4. اكتب "4" في أسفل اليمين ، متبوعًا بـ _×_=.
5. أدخل الأرقام على اليمين. في المساحة الفارغة من المجموع (على اليمين) ، أدخل أكبر عدد صحيح يجعل نتيجة مجموع الضرب على اليمين أقل من أو تساوي الرقم الحالي على اليسار.
   • في مثالنا ، نقوم بإدخال 8 ، وهذا يعطينا 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. هذا أكبر من 380. لذا فإن 8 كبير جدًا ، ولكن 7 على الأرجح ليس كذلك. اكتب 7 وحل: 4 (7) × 7 = 329. 7 جيد لأن 329 أقل من 380. اكتب 7 في أعلى اليمين. هذا هو الرقم الثاني في الجذر التربيعي لـ 780.14.
6. اطرح الرقم الذي حسبته للتو من الرقم الحالي الموجود على اليسار. لذلك تطرح نتيجة الضرب على اليمين من الإجابة الحالية على اليسار. اكتب إجابتك مباشرة تحتها.
   • في مثالنا ، نطرح 329 من 380 ، وهذا يعطينا 51 كنتيجة.
7. كرر الخطوة 4. انقل زوج الأرقام التالي لأسفل من 780.14. عندما تصل إلى الفاصلة ، اكتب تلك الفاصلة في الإجابة على اليسار. ثم اضرب الرقم الأيمن العلوي في 2 واكتب الإجابة بجوار ("_ × _") على النحو الوارد أعلاه.
   • في إجابتنا الآن نكتب فاصلة لأننا واجهنا هذا أيضًا في 780.14. حرك الزوج التالي (14) لأسفل في الربع الأيسر. 27 × 2 = 54 ، لذلك نكتب "54 _ × _ =" في الربع الأيمن السفلي.
8. كرر الخطوتين 5 و 6. أوجد أكبر رقم يعطي إجابة أصغر من أو يساوي الرقم الحالي على اليسار. يحل.
   • في مثالنا ، 549 × 9 = 4941 ، وهو أقل من أو يساوي الرقم الموجود على اليسار (5114). 549 × 10 = 5490 ، وهي نسبة عالية جدًا ، لذا فإن 9 هي إجابتنا. اكتب 9 كالعدد العلوي الأيمن التالي واطرح نتيجة الضرب من الرقم الأيسر: 5114 -4941 = 173.
9. لجعل النتيجة دقيقة ، كرر الإجراء السابق حتى تجد الإجابة مع عدد المنازل العشرية (المئات ، الألف) التي تحتاجها.

افهم الإجراء

1. ضع في اعتبارك الرقم الذي تريد حساب جذره التربيعي كمساحة S من مربع. نظرًا لأن مساحة المربع هي L ، حيث L هو طول أحد ضلعه ، لذلك من خلال إيجاد الجذر التربيعي للعدد ، فإنك تحاول حساب الطول L من ضلع ذلك المربع.
2. أعط كل رقم من إجابتك حرفًا. أدخل المتغير A كأول رقم من L (الجذر التربيعي الذي نحاول حسابه). B هو الرقم الثاني ، و C الثالث ، وهكذا.
3. اكتب حرفًا لكل "زوج من الأرقام" من الرقم الذي تبدأ به. أعط المتغير S_أ إلى أول زوج من الأرقام في S (القيمة الأولية) ، S._ب إلى الزوج الثاني من الأرقام ، إلخ.
4. افهم العلاقة بين هذه الطريقة والقسمة المطولة. هذه الطريقة لإيجاد الجذر التربيعي هي في الأساس عملية قسمة طويلة ، حيث تقسم القيمة الأولية على جذرها التربيعي و "تعطي" الجذر التربيعي كإجابة. كما هو الحال مع القسمة المطولة ، حيث تهتم فقط بالرقم التالي في كل مرة ، فأنت مهتم فقط بالرقمين التاليين في كل مرة (والتي تتوافق مع الرقم التالي من الجذر التربيعي).
5. أوجد أكبر رقم يكون مربعه أصغر من أو يساوي S._أ هو. الرقم الأول A في إجابتنا هو إذن أكبر عدد صحيح لا يزيد مربعه عن S._أ (مثل أن A² ≤ Sa (A + 1) ²). في مثالنا ، S_أ = 7 و 2² 7 3² ، لذا أ = 2.
   • لاحظ أنك إذا قسمت 88962 على 7 باستخدام القسمة المطولة ، فستكون الخطوة الأولى متساوية: أنت تتعامل أولاً مع الرقم الأول 88962 (8) وتريد أكبر رقم مضروبًا في 7 وهو أصغر من أو يساوي 8. أنت أساسًا تحديد د بحيث تكون 7 × د ≤ 8 7 × (د + 1). في هذه الحالة ، d يساوي 1.
6. تصور المربع الذي تريد البحث عن مساحته. إجابتك ، الجذر التربيعي للقيمة الأولية ، هي L ، وهي تصف طول مربع بمساحة S (القيمة الأولية). تمثل قيم A و B و C الأرقام الموجودة في القيمة L. طريقة أخرى لقول ذلك وهي الإجابة المكونة من رقمين ، 10A + B = L ، وللإجابة المكونة من 3 أرقام ، 100A + 10B + C = L وهكذا.
   • في مثالنا (10A + B) ² = L = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². تذكر أن 10A + B تمثل إجابتنا L مع B في موضع الوحدات ، و A في موضع العشرات. على سبيل المثال ، إذا كان A = 1 و B = 2 ، فإن 10A + B هو الرقم 12. (10 أ + ب) ² هي مساحة المربع كله ، بينما 100A² هي مساحة أكبر مربع داخلي ، ب² هي مساحة أصغر مربع و 10 أ × ب هي مساحة كل من المستطيلات المتبقية. من خلال هذا الإجراء الطويل والمعقد ، يمكننا إيجاد مساحة المربع بأكمله عن طريق إضافة مناطق المربعات والمستطيلات التي تشكل جزءًا منه.
7. اطرح A² من S._أ. أحضر زوجًا من الأرقام (S._ب) من الرقم S. S._أ س._ب هي المساحة الإجمالية للمربع تقريبًا ، والتي طرحت منها للتو مساحة أكبر مربع داخلي. الباقي ، على سبيل المثال ، هو الرقم N1 ، الذي حصلنا عليه في الخطوة 4 (N1 = 380 في مثالنا). N1 يساوي 2 × 10A × B + B² (مساحة المستطيلين بالإضافة إلى مساحة المربع الصغير).
8. انظر إلى N1 = 2 × 10A × B + B² ، مكتوبًا أيضًا على النحو N1 = (2 × 10A + B) × B. في مثالنا ، أنت تعرف بالفعل N1 (380) و A (2) ، لذا عليك الآن العثور على B. من المحتمل أن يكون B ليس عددًا صحيحًا ، لذا يجب عليك ذلك فعلا أوجد أكبر عدد صحيح ب ، مثل (2 × 10A + B) × B ≤ N1. الآن لديك: N1 (2 × 10A + (B + 1)) × (B + 1).)
9. حل المعادلة. لحل هذه المعادلة ، اضرب A في 2 ، وانقلها إلى العشرة (اضرب في 10) ، ضع B في الوحدات ، واضرب الناتج في B. وبعبارة أخرى ، (2 × 10A + B) × B. هذا هو بالضبط ما تفعله عندما تكتب "N_ × _ =" (مع N = 2 × A) في الربع الأيمن السفلي في الخطوة 4. في الخطوة 5 تحدد أكبر عدد صحيح B يناسب أسفل السطر ، لذلك (2 × 10A + ب) × ب ≤ N1.
10. اطرح المساحة (2 × 10A + B) × B من المساحة الكلية. هذا يعطي المنطقة S- (10A + B) ² التي لم تأخذها في الاعتبار بعد (والتي تستخدمها لحساب الأرقام التالية بنفس الطريقة).
11. لحساب الرقم التالي C ، كرر الإجراء. انقل زوج الأرقام التالي من S لأسفل (S._ج) للحصول على N2 إلى اليسار ، وابحث عن أكبر C بحيث يكون لديك الآن: (2 × 10 × (10A + B) + C) × C ≤ N2 (يساوي ضعف العدد المكون من رقمين "AB" متبوعًا بواسطة "_ × _ =" الآن حدد أكبر رقم يمكنك إدخاله هنا ، والذي سيمنحك إجابة أقل من أو تساوي N2.

نصائح

• يؤدي تحريك الفاصلة بمقدار مكانين (عامل 100) إلى تحريك الفاصلة في الجذر التربيعي المقابل بمقدار مكان واحد (عامل 10).
• في المثال ، يمكن اعتبار 1.73 "باقيًا": 780.14 = 27.9² + 1.73.
• تعمل هذه الطريقة مع أي نظام رقمي ، وليس فقط النظام العشري (العشري).
• لا تتردد في وضع الحسابات حيث تريد. يكتبه بعض الأشخاص فوق الرقم الذي يريدون حساب الجذر التربيعي له.
• طريقة بديلة هي التالية: √z = √ (x ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (2x + ...))). على سبيل المثال ، لحساب الجذر التربيعي لـ 780.14 ، خذ العدد الصحيح الذي يكون مربعه أقرب إلى 780.14 (28) ، لذلك = 780.14 و x = 28 و y = -3.86. يعطينا الملء والتقدير x + y / (2x) وهذا يعطي (شروط مبسطة) 78207/2800 أو حوالي 27.931 (1) ؛ المصطلح التالي ، 4374188/156607 أو حوالي 27.930986 (5). يضيف كل مصطلح حوالي 3 منازل عشرية من الدقة إلى السابقة.

تحذيرات

• تأكد من تقسيم الرقم إلى أزواج من الفاصلة العشرية. قسمة 79520789182.47897 على "79 52 07 89 18 2,4 78 97 "يعطي نتيجة غير صحيحة.