كيفية تحليل ذات الحدين

المحتوى

خطوات
جزء 1 من 3: العوملة ذات الحدين
جزء 2 من 3: تحليل المعادلات ذات الحدين
جزء 3 من 3: حل المشكلات المعقدة
نصائح
تحذيرات

ذات الحدين (ذات الحدين) عبارة عن تعبير رياضي يتكون من مصطلحين يوجد بينهما علامة زائد أو ناقص ، على سبيل المثال ، ${ displaystyle ax + b}$ ... يتضمن العضو الأول المتغير ، بينما يشتمل الثاني عليه أو لا يشتمل عليه. يتضمن تحليل ذات الحدين إيجاد المصطلحات التي ، عند ضربها ، تنتج ذات الحدين الأصلية لحلها أو تبسيطها.

خطوات

جزء 1 من 3: العوملة ذات الحدين

1 فهم أساسيات عملية العوملة. عند تحليل قيمة ذات الحدين ، يتم إخراج العامل الذي يمثل القاسم لكل حد من الحدود الأصلية من القوس. على سبيل المثال ، الرقم 6 قابل للقسمة تمامًا على 1 ، 2 ، 3 ، 6. وبالتالي ، فإن قواسم الرقم 6 هي الأرقام 1 ، 2 ، 3 ، 6.
- المقسومات 32: 1، 2، 4، 8، 16، 32.
- قواسم أي رقم هي 1 والرقم نفسه. على سبيل المثال ، القواسم على 3 هي 1 و 3.
- يمكن أن تكون القواسم الصحيحة أعدادًا صحيحة فقط. يمكن قسمة الرقم 32 على 3.564 أو 21.4952 ، لكن لا تحصل على عدد صحيح ، بل كسر عشري.
2 ترتيب شروط ذات الحدين لتسهيل عملية العوملة. ذات الحدين هي مجموع أو فرق بين حدين ، يحتوي أحدهما على الأقل على متغير. في بعض الأحيان يتم رفع المتغيرات إلى قوة ، على سبيل المثال ، x2{ displaystyle x ^ {2}} أو 5ذ4{ displaystyle 5y ^ {4}}... من الأفضل ترتيب شروط ذات الحدين بترتيب تصاعدي للأسس ، أي أن المصطلح الذي يحتوي على الأس الأصغر يُكتب أولاً ، ومع الأكبر - الأخير. فمثلا:
- ${ displaystyle 3t + 6}$ → ${ displaystyle 6 + 3t}$
- ${ displaystyle 3x ^ {4} + 9x ^ {2}}$ → ${ displaystyle 9x ^ {2} + 3x ^ {4}}$
- x2−2{ displaystyle x ^ {2} -2} → −2+x2{ displaystyle -2 + x ^ {2}}
  - لاحظ علامة الطرح أمام 2. إذا تم طرح حد ، فاكتب علامة ناقص أمامه.
3 أوجد القاسم المشترك الأكبر (GCD) لكلا المصطلحين. GCD هو أكبر عدد يمكن من خلاله تقسيم كلا العضوين في ذات الحدين. للقيام بذلك ، ابحث عن قواسم كل حد في ذات الحدين ، ثم حدد القاسم المشترك الأكبر. فمثلا:
- مهمة:3ر+6{ displaystyle 3t + 6}.
  - القواسم 3: 1 ، 3
  - القواسم 6: 1، 2، 3، 6.
  - GCD = 3.
4 قسّم كل حد في ذات الحدين على القاسم المشترك الأكبر (GCD). افعل هذا لاستخراج GCD. لاحظ أن كل عضو في ذات الحدين يتناقص (لأنه قابل للقسمة) ، ولكن إذا تم استبعاد GCD من الأقواس ، فسيكون التعبير النهائي مساويًا للتعبير الأصلي.
- مهمة: ${ displaystyle 3t + 6}$ .
- ابحث عن GCD: 3
- قسّم كل مصطلح ذي حدين على gcd: ${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
5 انقل المقسوم عليه خارج الأقواس. في وقت سابق ، قمت بقسمة كل من حدي ذات الحدين على المقسوم عليه 3 وحصلت ر+2{ displaystyle t + 2}... لكن لا يمكنك التخلص من 3 - لكي تتساوى قيم التعابير الأولية والنهائية ، عليك وضع 3 خارج الأقواس ، وكتابة التعبير الذي تم الحصول عليه نتيجة القسمة بين قوسين. فمثلا:
- مهمة: ${ displaystyle 3t + 6}$ .
- ابحث عن GCD: 3
- قسّم كل مصطلح ذي حدين على gcd: ${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
- اضرب المقسوم عليه بالتعبير الناتج: ${ displaystyle 3 (t + 2)}$
- إجابه: ${ displaystyle 3 (t + 2)}$
6 تحقق من إجابتك. للقيام بذلك ، اضرب الحد قبل الأقواس في كل حد داخل الأقواس. إذا حصلت على القيمة الأصلية ذات الحدين ، يكون الحل صحيحًا. الآن حل المشكلة 12ر+18{ displaystyle 12t + 18}:
- اطلب من الأعضاء: ${ displaystyle 18 + 12t}$
- ابحث عن GCD: ${ displaystyle 6}$
- قسّم كل مصطلح ذي حدين على gcd: ${ displaystyle { frac {18t} {6}} + { frac {12t} {6}} = 3 + 2t}$
- اضرب المقسوم عليه بالتعبير الناتج: ${ displaystyle 6 (3 + 2t)}$
- تحقق من الإجابة: ${ displaystyle (6 * 3) + (6 * 2t) = 18 + 12t}$

جزء 2 من 3: تحليل المعادلات ذات الحدين

1 حلل المعادلة ذات الحدين إلى عوامل لتبسيطها وحل المعادلة. للوهلة الأولى ، يبدو أنه من المستحيل حل بعض المعادلات (خاصة مع المعادلات ذات الحدين المعقدة). على سبيل المثال ، حل المعادلة 5ذ−2ذ2=−3ذ{ displaystyle 5y-2y ^ {2} = - 3y}... توجد قوى في هذه المعادلة ، لذا عامل المقدار أولاً.
- مهمة: ${ displaystyle 5y-2y ^ {2} = - 3y}$
- تذكر أن ذات الحدين لها عضوان. إذا احتوى التعبير على مزيد من المصطلحات ، فتعلم كيفية حل كثيرات الحدود.
2 أضف أو اطرح بعض المونومال لكلا طرفي المعادلة بحيث يبقى الصفر في أحد طرفي المعادلة. في حالة التحليل إلى عوامل ، يعتمد حل المعادلات على حقيقة ثابتة مفادها أن أي تعبير مضروب في صفر يساوي صفرًا. لذلك ، إذا قمنا بمساواة المعادلة بالصفر ، فيجب أن يكون أي من عواملها مساويًا للصفر. ضع أحد طرفي المعادلة على 0.
- مهمة: ${ displaystyle 5y-2y ^ {2} = - 3y}$
- تعيين إلى الصفر:5ذ−2ذ2+3ذ=−3ذ+3ذ{ displaystyle 5y-2y ^ {2} + 3y = -3y + 3y}
  - ${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
3 عامل الحاوية الناتجة. افعل هذا كما هو موضح في القسم السابق. ابحث عن العامل المشترك الأكبر (GCD) ، واقسم كل من حدي ذات الحدين عليه ، ثم انقل العامل خارج الأقواس.
- مهمة: ${ displaystyle 5y-2y ^ {2} = - 3y}$
- تعيين إلى الصفر: ${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
- عامل: ${ displaystyle 2y (4-y) = 0}$
4 اضبط كل عامل على صفر. في التعبير الناتج ، يتم ضرب 2y في 4 - y ، وهذا حاصل الضرب يساوي صفرًا. نظرًا لأن أي تعبير (أو مصطلح) مضروب في صفر يساوي صفرًا ، فإن 2y أو 4 - y تساوي 0. اضبط الناتج ذي الحدين على الصفر لإيجاد "y".
- مهمة: ${ displaystyle 5y-2y ^ {2} = - 3y}$
- تعيين إلى الصفر: ${ displaystyle 8y-2y ^ {2} + 3y = 0}$
- عامل: ${ displaystyle 2y (4-y) = 0}$
- اضبط كلا العاملين على 0:
  - ${ displaystyle 2y = 0}$
  - ${ displaystyle 4-y = 0}$
5 حل المعادلات الناتجة لإيجاد الإجابة النهائية (أو الإجابات). نظرًا لأن كل عامل يساوي صفرًا ، يمكن أن يكون للمعادلة حلول متعددة. في مثالنا:
- 2ذ=0{ displaystyle 2y = 0}
  - ${ displaystyle { frac {2y} {2}} = { frac {0} {2}}}$
  - ص = 0
- 4−ذ=0{ displaystyle 4-y = 0}
  - ${ displaystyle 4-y + y = 0 + y}$
  - ص = 4
6 تحقق من إجابتك. للقيام بذلك ، استبدل القيم الموجودة في المعادلة الأصلية. إذا كانت المساواة صحيحة ، فالقرار صحيح. استبدل القيم التي تم العثور عليها بدلاً من "y". في مثالنا ، y = 0 و y = 4:
- 5(0)−2(0)2=−3(0){ displaystyle 5 (0) -2 (0) ^ {2} = - 3 (0)}
  - ${ displaystyle 0 + 0 = 0}$
  - ${ displaystyle 0 = 0}$ هذا هو القرار الصحيح
- 5(4)−2(4)2=−3(4){ displaystyle 5 (4) -2 (4) ^ {2} = - 3 (4)}
  - ${ displaystyle 20-32 = -12}$
  - ${ displaystyle -12 = -12}$ وهذا هو القرار الصحيح

جزء 3 من 3: حل المشكلات المعقدة

1 تذكر أنه يمكن أيضًا تحليل المصطلح الذي يحتوي على متغير ، حتى لو تم رفع المتغير إلى أس. عند التحليل ، تحتاج إلى إيجاد قيمة أحادية تقسم كل عضو في ذات الحدين بشكل متكامل. على سبيل المثال ، monomial x4{ displaystyle x ^ {4}} يمكن تحليلها إلى عوامل x∗x∗x∗x{ displaystyle x * x * x * x}... أي ، إذا كان المصطلح الثاني من ذات الحدين يحتوي أيضًا على المتغير "x" ، فيمكن إخراج "x" من الأقواس. وبالتالي ، تعامل مع المتغيرات كأعداد صحيحة. فمثلا:
- كلا العضوين في ذات الحدين ${ displaystyle 2t + t ^ {2}}$ تحتوي على "t" ، لذلك يمكن حذف "t" من الأقواس: ${ displaystyle t (2 + t)}$
- أيضًا ، يمكن إخراج متغير مرفوع إلى أس من القوس. على سبيل المثال ، كلا العضوين في ذات الحدين ${ displaystyle x ^ {2} + x ^ {4}}$ يحتوي ${ displaystyle x ^ {2}}$ ، وبالتالي ${ displaystyle x ^ {2}}$ يمكن إخراجها من الحامل: ${ displaystyle x ^ {2} (1 + x ^ {2})}$
2 اجمع أو اطرح مصطلحات متشابهة للحصول على ذات الحدين. على سبيل المثال ، بالنظر إلى التعبير 6+2x+14+3x{ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}... للوهلة الأولى ، هذه كثيرة الحدود ، ولكن في الواقع ، يمكن تحويل هذا التعبير إلى ذي الحدين. أضف المصطلحات المتشابهة: 6 و 14 (لا تحتوي على متغير) ، و 2 س و 3 س (تحتوي على نفس المتغير "س"). في هذه الحالة ، سيتم تبسيط عملية العوملة:
- التعبير الأصلي: ${ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$
- اطلب من الأعضاء: ${ displaystyle 2x + 3x + 14 + 6}$
- أضف مصطلحات مماثلة: ${ displaystyle 5x + 20}$
- ابحث عن GCD: ${ displaystyle 5 (x) +5 (4)}$
- عامل: ${ displaystyle 5 (x + 4)}$
3 حلل فرق المربعات الكاملة إلى عوامل. المربع الكامل هو رقم جذره التربيعي عدد صحيح ، على سبيل المثال 9{ displaystyle 9}(3∗3){ displaystyle (3 * 3)}, x2{ displaystyle x ^ {2}}(x∗x){ displaystyle (x * x)} وحتى 144ر2{ displaystyle 144t ^ {2}}(12ر∗12ر){ displaystyle (12t * 12t)}... إذا كانت ذات الحدين هي الفرق بين المربعات الكاملة ، على سبيل المثال ، أ2−ب2{ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2}}، ثم يتم تحليلها بواسطة الصيغة:
- فرق صيغة المربعات: ${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (a-b)}$
- مهمة: ${ displaystyle 4x ^ {2} -9}$
- استخراج الجذور التربيعية:
  - ${ displaystyle { sqrt {4x ^ {2}}} = 2x}$
  - ${ displaystyle { sqrt {9}} = 3}$
- استبدل القيم الموجودة في الصيغة: ${ displaystyle 4x ^ {2} -9 = (2x + 3) (2x-3)}$
4 حلل الفرق بين المكعبات الكاملة إلى عوامل. إذا كانت ذات الحدين هي الفرق بين المكعبات الكاملة ، على سبيل المثال ، أ3−ب3{ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3}}، ثم يتم تحليلها باستخدام صيغة خاصة. في هذه الحالة ، من الضروري استخراج الجذر التكعيبي من كل عضو في ذات الحدين ، واستبدال القيم الموجودة في الصيغة.
- معادلة الفرق بين المكعبات: ${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3} = (a-b) (a ^ {2} + ab + b ^ {2})}$
- مهمة: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27}$
- استخراج الجذور المكعبة:
  - ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
  - ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
- استبدل القيم الموجودة في الصيغة: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x-3) (4x ^ {2} + 6x + 9)}$
5 حلل مجموع المكعبات الكاملة إلى عوامل. على عكس مجموع المربعات الكاملة ، فإن مجموع المكعبات الكاملة ، على سبيل المثال ، أ3+ب3{ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3}}يمكن تحليلها إلى عوامل باستخدام صيغة خاصة. إنها مشابهة لصيغة الفرق بين المكعبات ، لكن الإشارات معكوسة. الصيغة بسيطة للغاية - لاستخدامها ، أوجد مجموع المكعبات الكاملة في المسألة.
- صيغة مجموع المكعبات: ${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3} = (a + b) (a ^ {2} -ab + b ^ {2})}$
- مهمة: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27}$
- استخراج الجذور المكعبة:
  - ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
  - ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
- استبدل القيم الموجودة في الصيغة: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x + 3) (4x ^ {2} -6x + 9)}$

نصائح

في بعض الأحيان ، لا يوجد قاسم مشترك بين الأعضاء ذات الحدين. في بعض المهام ، يتم تقديم الأعضاء بشكل مبسط.
إذا لم تتمكن من العثور على GCD على الفور ، فابدأ بالقسمة على أعداد صغيرة. على سبيل المثال ، إذا كنت لا ترى أن GCD للأرقام 32 و 16 هي 16 ، فاقسم كلا الرقمين على 2. تحصل على 16 و 8 ؛ يمكن تقسيم هذه الأرقام على 8. الآن تحصل على 2 و 1 ؛ لا يمكن اختزال هذه الأرقام. وبالتالي ، من الواضح أن هناك عددًا أكبر (مقارنة بـ 8 و 2) ، وهو القاسم المشترك للرقمين المعينين.
لاحظ أن حدود الرتبة السادسة (مع الأس 6 ، على سبيل المثال x) عبارة عن مربعات كاملة ومكعبات كاملة. وبالتالي ، بالنسبة إلى المصطلحات ذات الحدين ذات الحدود السادسة ، على سبيل المثال ، x - 64 ، يمكن للمرء أن يطبق (بأي ترتيب) الصيغ الخاصة باختلاف المربعات وفرق المكعبات. لكن من الأفضل أولاً تطبيق صيغة اختلاف المربعات من أجل التحلل بشكل أكثر دقة باستخدام ذات الحدين.