المحتوى

• خطوات
• جزء 1 من 4: كيفية كتابة معادلة
• جزء 2 من 4: كيفية كتابة خوارزمية إقليدس
• جزء 3 من 4: كيفية إيجاد حل باستخدام خوارزمية إقليدس
• جزء 4 من 4: البحث عن حلول أخرى لانهائية

لحل معادلة Diophantine الخطية ، تحتاج إلى إيجاد قيم المتغيرين "x" و "y" ، وهما عددان صحيحان. يعد حل العدد الصحيح أكثر تعقيدًا من المعتاد ويتطلب مجموعة محددة من الإجراءات. أولاً ، تحتاج إلى حساب القاسم المشترك الأكبر (GCD) للمعاملات ، ثم إيجاد حل. بمجرد إيجاد حل عدد صحيح واحد لمعادلة خطية ، يمكنك استخدام نمط بسيط لإيجاد عدد لا نهائي من الحلول الأخرى.

خطوات

جزء 1 من 4: كيفية كتابة معادلة

1. 1 اكتب المعادلة في الصورة القياسية. المعادلة الخطية هي معادلة لا يتجاوز فيها الأسس للمتغيرات 1. لحل مثل هذه المعادلة الخطية ، اكتبها أولاً في الشكل القياسي. يبدو الشكل القياسي للمعادلة الخطية كما يلي: ${ displaystyle Ax + By = C}$، أين ${ displaystyle A، B}$ و ${ displaystyle C}$ - الأعداد الكلية.
   • إذا تم تقديم المعادلة في شكل مختلف ، فقم بإحضارها إلى الشكل القياسي باستخدام العمليات الجبرية الأساسية. على سبيل المثال ، بالنظر إلى المعادلة ${ displaystyle 23x + 4y-7x = -3y + 15}$... أعط مصطلحات مماثلة واكتب المعادلة على النحو التالي: ${ displaystyle 16x + 7y = 15}$.
2. 2 بسّط المعادلة (إن أمكن). عندما تكتب المعادلة في الصورة القياسية ، انظر إلى المعاملات ${ displaystyle A، B}$ و ${ displaystyle C}$... إذا كانت هذه الاحتمالات لها GCD ، فاقسم كل الاحتمالات الثلاثة عليها. سيكون حل هذه المعادلة المبسطة هو أيضًا حل المعادلة الأصلية.
   • على سبيل المثال ، إذا كانت جميع المعاملات الثلاثة متساوية ، فاقسمها على 2. على الأقل ، على سبيل المثال:
     • ${ displaystyle 42x + 36y = 48}$ (كل الأعضاء يقبلون القسمة على 2)
     • ${ displaystyle 21x + 18y = 24}$ (الآن كل الأعضاء يقبلون القسمة على 3)
     • ${ displaystyle 7x + 6y = 8}$ (لم يعد من الممكن تبسيط هذه المعادلة)
3. 3 تحقق مما إذا كان من الممكن حل المعادلة. في بعض الحالات ، يمكنك أن تذكر على الفور أن المعادلة ليس لها حلول. إذا كان المعامل "C" غير قابل للقسمة بواسطة GCD للمعاملات "A" و "B" ، فليس للمعادلة حلول.
   • على سبيل المثال ، إذا كان كلا المعاملين ${ displaystyle A}$ و ${ displaystyle B}$ حتى ، ثم المعامل ${ displaystyle C}$ يجب أن يكون حتى. لكن اذا ${ displaystyle C}$ غريب ، ثم لا يوجد حل.
     • المعادلة ${ displaystyle 2x + 4y = 21}$ لا توجد حلول صحيحة.
     • المعادلة ${ displaystyle 5x + 10y = 17}$ لا توجد حلول صحيحة لأن الجانب الأيسر من المعادلة يقبل القسمة على 5 والجانب الأيمن غير قابل للقسمة.

جزء 2 من 4: كيفية كتابة خوارزمية إقليدس

1. 1 افهم خوارزمية إقليدس. وهي عبارة عن سلسلة من الأقسام المتكررة التي يتم فيها استخدام الباقي السابق كمقسوم تالي. القاسم الأخير الذي يقسم الأرقام بشكل متكامل هو القاسم المشترك الأكبر (GCD) للرقمين.
   • على سبيل المثال ، لنجد GCD للأرقام 272 و 36 باستخدام خوارزمية إقليدس:
     • ${ displaystyle 272 = 7 * 36 + 20}$ - اقسم العدد الأكبر (272) على الأصغر (36) وانتبه إلى الباقي (20) ؛
     • ${ displaystyle 36 = 1 * 20 + 16}$ - قسّم القاسم السابق (36) على الباقي السابق (20). لاحظ البقايا الجديدة (16) ؛
     • ${ displaystyle 20 = 1 * 16 + 4}$ - قسّم القاسم السابق (20) على الباقي السابق (16). لاحظ البقايا الجديدة (4) ؛
     • ${ displaystyle 16 = 4 * 4 + 0}$ - اقسم القاسم السابق (16) على الباقي السابق (4). بما أن الباقي يساوي 0 ، فيمكننا القول إن 4 هو GCD للعددين الأصليين 272 و 36.
2. 2 تطبيق خوارزمية إقليدس على المعاملين "أ" و "ب". عندما تكتب المعادلة الخطية في شكل قياسي ، حدد المعاملين "أ" و "ب" ثم قم بتطبيق خوارزمية إقليدس عليهم للعثور على GCD. على سبيل المثال ، بالنظر إلى معادلة خطية ${ displaystyle 87x-64y = 3}$.
   • إليك خوارزمية إقليدس للمعاملات A = 87 و B = 64:
     • ${ displaystyle 87 = 1 * 64 + 23}$
     • ${ displaystyle 64 = 2 * 23 + 18}$
     • ${ displaystyle 23 = 1 * 18 + 5}$
     • ${ displaystyle 18 = 3 * 5 + 3}$
     • ${ displaystyle 5 = 1 * 3 + 2}$
     • ${ displaystyle 3 = 1 * 2 + 1}$
     • ${ displaystyle 2 = 2 * 1 + 0}$
3. 3 أوجد العامل المشترك الأكبر (GCD). بما أن القاسم الأخير كان 1 ، فإن GCD 87 و 64 هما 1. وبالتالي ، فإن 87 و 64 عددان أوليان مرتبطان ببعضهما البعض.
4. 4 حلل النتيجة. عندما تجد معاملات gcd ${ displaystyle A}$ و ${ displaystyle B}$قارنها بالمعامل ${ displaystyle C}$ المعادلة الأصلية. لو ${ displaystyle C}$ قابل للقسمة على gcd ${ displaystyle A}$ و ${ displaystyle B}$، المعادلة لها حل صحيح ؛ وإلا فليس للمعادلة حلول.
   • على سبيل المثال ، المعادلة ${ displaystyle 87x-64y = 3}$ يمكن حلها لأن 3 قابلة للقسمة على 1 (gcd = 1).
   • على سبيل المثال ، افترض أن GCD = 5. 3 ليست قابلة للقسمة على 5 بالتساوي ، لذلك لا تحتوي هذه المعادلة على حلول عدد صحيح.
   • كما هو موضح أدناه ، إذا كانت المعادلة تحتوي على حل صحيح واحد ، فإنها تحتوي أيضًا على عدد لا نهائي من حلول الأعداد الصحيحة الأخرى.

جزء 3 من 4: كيفية إيجاد حل باستخدام خوارزمية إقليدس

1. 1 ترقيم خطوات حساب GCD. للعثور على حل المعادلة الخطية ، تحتاج إلى استخدام الخوارزمية الإقليدية كأساس لعملية الاستبدال والتبسيط.
   • ابدأ بترقيم خطوات حساب GCD. تبدو عملية الحساب كما يلي:
     • ${ displaystyle { text {الخطوة 1}}: 87 = (1 * 64) +23}$
     • ${ displaystyle { text {الخطوة 2}}: 64 = (2 * 23) +18}$
     • ${ displaystyle { text {الخطوة 3}}: 23 = (1 * 18) +5}$
     • ${ displaystyle { text {الخطوة 4}}: 18 = (3 * 5) +3}$
     • ${ displaystyle { text {الخطوة 5}}: 5 = (1 * 3) +2}$
     • ${ displaystyle { text {الخطوة 6}}: 3 = (1 * 2) +1}$
     • ${ displaystyle { text {الخطوة 7}}: 2 = (2 * 1) +0}$
2. 2 انتبه إلى الخطوة الأخيرة ، حيث يوجد الباقي. أعد كتابة المعادلة لهذه الخطوة لعزل الباقي.
   • في مثالنا ، الخطوة الأخيرة مع الباقي هي الخطوة 6. والباقي هو 1. أعد كتابة المعادلة في الخطوة 6 على النحو التالي:
     • ${ displaystyle 1 = 3- (1 * 2)}$
3. 3 اعزل باقي الخطوة السابقة. هذه العملية هي خطوة خطوة "خطوة للأعلى". في كل مرة ستقوم بعزل الباقي في المعادلة في الخطوة السابقة.
   • افصل باقي المعادلة في الخطوة 5:
     • ${ displaystyle 2 = 5- (1 * 3)}$ أو ${ displaystyle 2 = 5-3}$
4. 4 عوّض وبسّط. لاحظ أن المعادلة في الخطوة 6 تحتوي على الرقم 2 ، وفي المعادلة في الخطوة 5 ، يتم عزل الرقم 2. لذا بدلاً من "2" في المعادلة في الخطوة 6 ، استبدل التعبير الموجود في الخطوة 5:
   • ${ displaystyle 1 = 3-2}$ (معادلة الخطوة 6)
   • ${ displaystyle 1 = 3- (5-3)}$ (بدلاً من 2 ، تم استبدال التعبير)
   • ${ displaystyle 1 = 3-5 + 3}$ (بين قوسين مفتوحين)
   • ${ displaystyle 1 = 2 (3) -5}$ (مبسط)
5. 5 كرر عملية الاستبدال والتبسيط. كرر العملية الموضحة ، وانتقل من خلال الخوارزمية الإقليدية بترتيب عكسي. في كل مرة ستعيد كتابة المعادلة من الخطوة السابقة وتعوضها في آخر معادلة تحصل عليها.
   • كانت الخطوة الأخيرة التي نظرنا إليها هي الخطوة 5. لذا انتقل إلى الخطوة 4 واعزل الباقي في المعادلة لتلك الخطوة:
     • ${ displaystyle 3 = 18- (3 * 5)}$
   • استبدل هذا التعبير بـ "3" في المعادلة الأخيرة:
     • ${ displaystyle 1 = 2 (18-3 * 5) -5}$
     • ${ displaystyle 1 = 2 (18) -6 (5) -5}$
     • ${ displaystyle 1 = 2 (18) -7 (5)}$
6. 6 تواصل مع عملية الاستبدال والتبسيط. ستتكرر هذه العملية حتى تصل إلى الخطوة الأولى للخوارزمية الإقليدية. الهدف من العملية هو كتابة المعادلة بالمعاملين 87 و 64 للمعادلة الأصلية المراد حلها. في مثالنا:
   • ${ displaystyle 1 = 2 (18) -7 (5)}$
   • ${ displaystyle 1 = 2 (18) -7 (23-18)}$ (استبدلت التعبير من الخطوة 3)
     • ${ displaystyle 1 = 2 (18) -7 (23) +7 (18)}$
     • ${ displaystyle 1 = 9 (18) -7 (23)}$
   • ${ displaystyle 1 = 9 (64-2 * 23) -7 (23)}$ (استبدلت التعبير من الخطوة 2)
     • ${ displaystyle 1 = 9 (64) -18 (23) -7 (23)}$
     • ${ displaystyle 1 = 9 (64) -25 (23)}$
   • ${ displaystyle 1 = 9 (64) -25 (87-64)}$ (استبدلت التعبير من الخطوة 1)
     • ${ displaystyle 1 = 9 (64) -25 (87) +25 (64)}$
     • ${ displaystyle 1 = 34 (64) -25 (87)}$
7. 7 أعد كتابة المعادلة الناتجة وفقًا للمعاملات الأصلية. عندما تعود إلى الخطوة الأولى من الخوارزمية الإقليدية ، سترى أن المعادلة الناتجة تحتوي على معاملين من المعادلة الأصلية. أعد كتابة المعادلة بحيث يتطابق ترتيب شروطها مع معاملات المعادلة الأصلية.
   • في مثالنا ، المعادلة الأصلية ${ displaystyle 87x-64y = 3}$... لذلك ، أعد كتابة المعادلة الناتجة بحيث يتم وضع المعاملات في الخط.انتبه بشكل خاص للمعامل "64". في المعادلة الأصلية ، هذا المعامل سالب ، وفي الخوارزمية الإقليدية موجب. لذلك ، يجب جعل العامل 34 سالبًا. ستتم كتابة المعادلة النهائية على النحو التالي:
     • ${ displaystyle 87 (-25) -64 (-34) = 1}$
8. 8 قم بتطبيق المضاعف المناسب لإيجاد حل. لاحظ أنه في مثالنا ، GCD = 1 ، وبالتالي فإن المعادلة النهائية هي 1. لكن المعادلة الأصلية (87x-64y) هي 3. لذلك ، يجب ضرب جميع الحدود في المعادلة النهائية في 3 للحصول على الحل:
   • ${ displaystyle 87 (-25 * 3) -64 (-34 * 3) = 1 * 3}$
   • ${ displaystyle 87 (-75) -64 (-102) = 3}$
9. 9 اكتب الحل الصحيح للمعادلة. الأرقام التي يتم ضربها في معاملات المعادلة الأصلية هي حلول تلك المعادلة.
   • في مثالنا ، اكتب الحل كزوج من الإحداثيات: ${ displaystyle (x، y) = (- 75، -102)}$.

جزء 4 من 4: البحث عن حلول أخرى لانهائية

1. 1 افهم أن هناك عددًا لا حصر له من الحلول. إذا كانت المعادلة الخطية تحتوي على حل صحيح واحد ، فيجب أن تحتوي على عدد لا نهائي من الحلول الصحيحة. إليك إثبات سريع (بصيغة جبرية):
   • ${ displaystyle Ax + By = C}$
   • ${displaystyle A (x + B) + B (y-A) = C}$ (إذا أضفت "B" إلى "x" وطرح "A" من "y" ، فلن تتغير قيمة المعادلة الأصلية)
2. 2 سجل قيمتي x و y الأصليتين. يبدأ نموذج حساب الحلول التالية (اللانهائية) بالحل الوحيد الذي وجدته بالفعل.
   • في مثالنا ، الحل هو زوج من الإحداثيات ${ displaystyle (x، y) = (- 75، -102)}$.
3. 3 أضف العامل "B" إلى قيمة "x". افعل هذا لإيجاد قيمة x الجديدة.
   • في مثالنا ، x = -75 ، و B = -64:
     • ${ displaystyle x = -75 + (- 64) = - 139}$
   • وبالتالي فإن القيمة الجديدة "س": س = -139.
4. 4 اطرح العامل "أ" من القيمة "ص". حتى لا تتغير قيمة المعادلة الأصلية ، عند إضافة رقم واحد إلى "x" ، تحتاج إلى طرح رقم آخر من "y".
   • في مثالنا ، y = -102 ، و A = 87:
     • ${ displaystyle y = -102-87 = -189}$
   • وبالتالي ، فإن القيمة الجديدة لـ "y": y = -189.
   • سيتم كتابة زوج الإحداثيات الجديد على النحو التالي: ${ displaystyle (x، y) = (- 139، -189)}$.
5. 5 تحقق من الحل. للتحقق من أن زوج الإحداثيات الجديد هو حل للمعادلة الأصلية ، عوض بالقيم في المعادلة.
   • ${ displaystyle 87x-64y = 3}$
   • ${ displaystyle 87 (-139) -64 (-189) = 3}$
   • ${ displaystyle 3 = 3}$
   • منذ استيفاء المساواة ، القرار صحيح.
6. 6 اكتب التعابير لإيجاد العديد من الحلول. ستساوي قيم "x" الحل الأصلي بالإضافة إلى أي مضاعف للعامل "B". يمكن كتابة هذا على النحو التالي:
   • x (k) = x + k (B) ، حيث "x (k)" هي مجموعة قيم "x" و "x" هي القيمة الأصلية (الأولى) لـ "x" التي وجدتها.
     • في مثالنا:
     • ${ displaystyle x (k) = - 75-64k}$
   • y (k) = y-k (A) ، حيث y (k) هي مجموعة قيم y و y هي قيمة y الأصلية (الأولى) التي وجدتها.
     • في مثالنا:
     • ${ displaystyle y (k) = - 102-87k}$