المحتوى

• خطوات
• النصيحة
• تحذير

يسمى كسران متكافئان إذا كان لهما نفس القيمة. إن معرفة كيفية تحويل الكسر إلى الأشكال المكافئة له هو مهارة حسابية أساسية لكل شيء بدءًا من الجبر الأساسي وحتى الرياضيات المتقدمة. ستقدم هذه المقالة عدة طرق لحساب الكسور المتكافئة من الضرب والقسمة الأساسيين إلى طرق أكثر تعقيدًا لحل المعادلات ذات الكسور المتكافئة.

خطوات

الطريقة 1 من 5: تكوين الكسور المتكافئة

1. 

   اضرب البسط والمقام في العدد نفسه. بحكم التعريف ، كسرين مختلفين ولكن متكافئين لهما البسط والمقام هو مضاعفات بعضهما البعض. بعبارة أخرى ، فإن ضرب البسط والمقام لكسر في نفس العدد ينتج عنه كسر مكافئ. على الرغم من أن الأرقام في الكسور الجديدة ستكون مختلفة ، سيكون لها نفس القيم.
   • على سبيل المثال ، إذا أخذنا الكسر 4/8 وضربنا البسط والمقام في 2 ، فسنحصل على (4 × 2) / (8 × 2) = 8/16. هذين الكسرين متكافئان.
   • (4 × 2) / (8 × 2) هي نفسها تمامًا مثل 4/8 × 2/2. تذكر أنه عندما نضرب كسرين ، فإننا نضرب أفقيًا ، أي البسط في البسط والمقام في المقام.
   • لاحظ أن 2/2 يساوي 1 عند إجراء القسمة. وبالتالي ، من السهل معرفة سبب تساوي 4/8 و 8/16 لأن 4/8 × (2/2) لا تزال = 4/8. وبالمثل 4/8 = 8/16.
   • أي كسر له عدد لا نهائي من الكسور المتكافئة. يمكنك ضرب البسط والمقام في أي عدد صحيح ، كبيرًا كان أم صغيرًا ، للحصول على كسر مكافئ.

2. 

   
   
   اقسم البسط والمقام على نفس الرقم. مثل الضرب ، تُستخدم القسمة أيضًا لإيجاد كسر جديد يعادل الكسر الأصلي. ما عليك سوى قسمة بسط ومقام الكسر على نفس الرقم للحصول على كسر مكافئ. ومع ذلك ، يجب أن يحتوي الكسر الذي تم الحصول عليه على كل من البسط والعينة من الأعداد الصحيحة.
   • على سبيل المثال ، انظر إلى الكسر 4/8. بدلاً من الضرب ، نقسم البسط والمقام على 2 ، لدينا (4، 2) / (8 ÷ 2) = 2/4. 2 و 4 كلاهما عدد صحيح ، لذا فإن هذا الكسر المكافئ صالح.
   الإعلانات

طريقة 2 من 5: استخدام الضرب الأساسي لتحديد المعادلة

1. 

   
   
   أوجد العدد الذي يتم فيه ضرب المقام الأكبر في المقام الأصغر. تتضمن العديد من مسائل الكسور تحديد ما إذا كان كسرين متساويين أم لا. بحساب هذا الرقم ، يمكنك إرجاع الكسور لنفس المصطلح لتحديد التكافؤ.
   • على سبيل المثال ، استرجع الكسور 4/8 و 8/16. المقام الأصغر هو 8 ، وسيتعين علينا ضرب هذا الرقم في 2 لنحصل على المقام الأكبر 16. إذن ، الرقم الذي نبحث عنه في هذه الحالة هو 2.
   • للأرقام الأكثر تعقيدًا ، ما عليك سوى قسمة المقام الكبير على المقام الصغير. في المثال أعلاه 16 مقسومًا على 8 ، تكون النتيجة 2.
   • هذا الرقم ليس دائمًا عددًا صحيحًا. على سبيل المثال ، إذا كان المقامان 2 و 7 ، فإن 7 على 2 يساوي 3.5.

2. 

   
   
   يتم التعبير عن بسط ومقام الكسر في الحد الأدنى بالرقم المحدد في الخطوة أعلاه. بحكم التعريف ، يوجد كسرين مختلفين ولكن متكافئين البسط والمقام من مضاعفات بعضهما البعض. بعبارة أخرى ، فإن ضرب البسط والمقام لكسر في نفس العدد ينتج عنه كسر مكافئ. على الرغم من أن الأرقام في هذا الكسر الجديد ستكون مختلفة ، فإن قيمها هي نفسها.
   • على سبيل المثال ، إذا أخذنا الكسر 4/8 من الخطوة الأولى وضربنا البسط والعينة في الرقم 2 المحدد سابقًا ، فلدينا (4 × 2) / (8 × 2) = 8/16. هذا يثبت أن هذين الكسرين متساويين.
   الإعلانات

طريقة 3 من 5: استخدام القسمة الأساسية لتحديد التكافؤ

1. 

   اقسم كل كسر إلى عدد عشري. بالنسبة للكسور البسيطة التي لا تحتوي على متغيرات ، ما عليك سوى تمثيل كل كسر على هيئة عدد عشري لتحديد التكافؤ. نظرًا لأن كل كسر هو في الأساس قسمة ، فهذه هي أبسط طريقة لتحديد التكافؤ.
   • على سبيل المثال ، خذ الكسر 4/8 أعلاه. الكسر 4/8 يساوي 4 على 8 ، 4/8 = 0.5. يمكنك قسمة هذا الكسر على هذا النحو ، 8/16 = 0.5. بغض النظر عن تنسيق الكسور ، فإنها تكون متساوية إذا كان الرقمان متساويين عند التعبير عنهما في النظام العشري.
   • تذكر أن التمثيل العشري يمكن أن ينتج العديد من الأرقام قبل الاستنتاج بأنها غير متكافئة. المثال الأساسي هو 1/3 = 0.333… بينما 3/10 = 0.3. أكثر من رقم واحد فقط ، نجد أن هذين الكسرين ليسا متكافئين.

2. 

   اقسم بسط ومقام الكسر على نفس الرقم لتحصل على كسر مكافئ. تتطلب طريقة القسمة هذه خطوات إضافية للكسور الأكثر تعقيدًا. مثل الضرب ، يمكنك قسمة بسط الكسر ومقامه على نفس العدد للحصول على كسر مكافئ. ومع ذلك ، يجب أن يحتوي الكسر الذي تم الحصول عليه على كل من البسط والعينة من الأعداد الصحيحة.
   • مثال كسر 4/8. بدلاً من الضرب ، نحن كذلك شارك يعطي كل من البسط والمقام 2 ، نحصل على (4 ÷ 2) / (8 ÷ 2) = 2/4. 2 و 4 كلاهما عدد صحيح لذا فإن هذا الكسر المكافئ صالح.

3. 

   
   
   اختصر الكسر إلى أدنى صوره. عادةً ما يتم التعبير عن معظم الكسور بصيغة مبسطة ، ويمكنك إعادتها إلى صورتها الصغرى بالقسمة على أكبر عامل مشترك للبسط والعينة. تعمل هذه الخطوة بنفس منطق تمثيل الكسور المتكافئة عن طريق تحويلها إلى نفس المقام ، لكن هذه الطريقة تتطلب تقليل كل كسر إلى صورته الدنيا.
   • عندما يكون الكسر في شكله الأدنى ، يكون البسط ومقامه أصغر ما يمكن. لا يمكنك تقسيمها على أي عدد صحيح للحصول على رقم أصغر. لتحويل كسر إلى أدنى صوره ، نقسم البسط والمقام على العامل المشترك الاكبر.
   • أكبر عامل مشترك في البسط والمقام هو أقصى عدد يقبلان القسمة عليه. لذلك ، في المثال 4/8 ، لأن 4 هو أكبر عدد يقبل القسمة على كل من 4 و 8 ، سنقسم بسط هذا الكسر ومقامه على 4 لنحصل على الصيغة المبسطة. (4 4) / (8 ÷ 4) = 1/2. في مثال آخر 8/16 ، GCF هي 8 ، والنتيجة هي أيضًا 1/2.
   الإعلانات

طريقة 4 من 5: استخدام الضرب المتقاطع لحل مشكلة المتغيرات

1. 

   
   
   ضع كسرين متساويين. نستخدم الضرب الاتجاهي للمسائل التي نعلم أن الكسور فيها متساوية ، ولكن تم استبدال أحد الأرقام بالمتغير (عادةً x) الذي يتعين علينا حل المشكلة لإيجاده. في مثل هذه الحالات ، يعد الضرب التبادلي طريقة سريعة.

2. 

   
   
   خذ كسرين متكافئين واقطعهما باستخدام "X". بعبارة أخرى ، تضرب بسط كسر في مقام الكسر الآخر والعكس صحيح ، ثم تساوي هاتين النتيجتين وتحل المسألة.
   • خذ مثالين ، 4/8 و 8/16. لا يحتوي هذان الكسرين على متغيرات ، لكن يمكننا إثبات أنهما متكافئان. من خلال الضرب التبادلي ، نحصل على 4 × 16 = 8 × 8 ، أو 64 = 64 ، وهذا صحيح بشكل واضح. إذا لم يكن الرقمان متماثلين ، فلن تكون الكسور متساوية.

3. 

   ضع المتغيرات فيها. نظرًا لأن الضرب التبادلي هو أسهل طريقة لتحديد الكسور المتكافئة عندما يتعين عليك حل مشكلة إيجاد المتغيرات ، أضف متغيرات.
   • على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك المعادلة التالية 2 / س = 10/13. للضرب التبادلي ، نضرب 2 في 13 و 10 في x ، ثم نساوي هاتين النتيجتين:
     • 2 × 13 = 26
     • 10 × س = 10x
     • 10x = 26. يمكننا إيجاد المتغير x = 26/10 = بالطرق الجبرية البسيطة 2.6، إذن أول كسرين متساويين هما 2 / 2.6 = 10/13.

4. 

   استخدم الضرب الاتجاهي للمعادلات ذات المتغيرات المتعددة أو التعبيرات المتغيرة. من أروع الأشياء في الضرب التبادلي أنه سواء كان لديك كسرين بسيطين (مثل أعلاه) أو كسرين أكثر تعقيدًا ، فإن الحل هو نفسه تمامًا. على سبيل المثال ، إذا كان كلا الكسرين يحتويان على متغيرات ، فما عليك سوى إزالتهما في الخطوة الأخيرة من عملية حل المشكلة. وبالمثل ، إذا كانت البسط والمقام في الكسور تحتوي على تعبيرات متغيرة (مثل x + 1) ، فاضرب تبادليًا وحل كما تفعل عادةً.
   • على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك المعادلة التالية ((x + 3) / 2) = ((x + 1) / 4). على النحو الوارد أعلاه ، يمكننا الحل عن طريق الضرب التبادلي لكسرين:
     • (س + 3) × 4 = 4x + 12
     • (س + 1) × 2 = 2 س + 2
     • 2x + 2 = 4x + 12 اطرح 2x من الأضلاع
     • 2 = 2x + 12 ، لفصل المتغير نطرح الأضلاع حتى 12
     • -10 = 2x ، واقسم الأضلاع على 2 لإيجاد x
     • -5 = س
   الإعلانات

الطريقة الخامسة من 5: استخدام الحل التربيعي لحل المعادلات المتغيرة

1. 

   اضرب كسرين. بالنسبة لمشاكل التكافؤ التي تتطلب استخدام الحلول التربيعية ، ما زلنا نبدأ باستخدام الضرب التبادلي. ومع ذلك ، فإن أي عملية ضرب تبادلية تنطوي على ضرب المصطلح الذي يحتوي على متغير في المصطلح الذي يحتوي على متغير آخر لديه القدرة على إنتاج تعبير لا يمكن حله بسهولة بالطريقة الجبرية. في مثل هذه الحالات ، سوف تحتاج إلى استخدام تقنيات مثل العوامل و / أو الصيغ التربيعية.
   • على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك المعادلة التالية ((x +1) / 3) = (4 / (2x - 2)). الخطوة 1 ، نضاعف:
     • (س + 1) × (2 س - 2) = 2 س + 2 س -2 س - 2 = 2 س - 2
     • 4 × 3 = 12
     • 2 س - 2 = 12.

2. 

   عبر عن المعادلة في صورة معادلة تربيعية. يجب أن نمثل المعادلة الآن في الصورة التربيعية (ax + bx + c = 0) ، حيث نضبط المعادلة على صفر ، وفي هذه الحالة نطرح كلا الطرفين بمقدار 12 لنحصل على 2x. - 14 = 0.
   • قد تكون بعض القيم صفرية. على الرغم من أن 2x - 14 = 0 هي أبسط شكل من أشكال المعادلة ، فإن تربيعها هو في الواقع 2x + 0 x + (-14) = 0. إنها تساعد على عكس قم بتصحيح شكل المعادلة التربيعية حتى لو كانت بعض القيم 0.

3. 

   حل معادلة بالتعويض عن المعاملات المعروفة في صيغة الحل. ستساعدنا الصيغة التربيعية (x = (-b +/- √ (b - 4ac)) / 2a) في حل مشكلة إيجاد x عند هذه النقطة. لا تخافوا لأن الصيغة تبدو طويلة. ما عليك سوى أخذ القيم من المعادلة التربيعية في الخطوة الثانية واستبدالها في مواضعها قبل الحل.
   • س = (-b +/- √ (ب - 4 أ ج)) / 2 أ. في المعادلة 2 س - 14 = 0 ، أ = 2 ، ب = 0 ، ج = -14.
   • س = (-0 +/- (0-4 (2) (- 14))) / 2 (2)
   • س = (+/- √ (0 - -112)) / 2 (2)
   • س = (+/- √ (112)) / 2 (2)
   • س = (+/- 10.58 / 4)
   • س = +/- 2.64

4. 

   تحقق من إجاباتك عن طريق التعويض بـ x في المعادلة التربيعية. من خلال استبدال x الذي تم العثور عليه مرة أخرى في المعادلة التربيعية من الخطوة الثانية ، يمكنك بسهولة تحديد ما إذا كانت إجابتك صحيحة أم خاطئة. في هذا المثال ، ستحل محل كل من 2.64 و -2.64 في المعادلة التربيعية الأصلية. الإعلانات

النصيحة

• تحويل الكسور إلى كسور متساوية القيمة هو في الواقع شكل ضربهم في 1. عند تحويل 1/2 إلى 2/4 ، نضرب البسط والمقام في 2 أو نضرب. 1/2 مع 2/2 ، وهو ما يساوي 1.
• إذا رغبت في ذلك ، قم بتحويل الرقم الكسري إلى كسر غير منتظم لتسهيل التحويل. من الواضح أنه ليس كل كسر تجده سهل التحويل كما في المثال 4/8 أعلاه. على سبيل المثال ، يمكن للأرقام المختلطة (على سبيل المثال 1 3/4 ، 2 5/8 ، 5 2/3 ، إلخ) أن تجعل الانتقال أكثر تعقيدًا. إذا كنت بحاجة إلى تحويل رقم كسري إلى كسر مكافئ ، فيمكنك القيام بذلك بطريقتين: تحويل الرقم الكسري إلى كسر غير منتظم ، ثم التحويل كالمعتاد ، أو احتفظ بالعدد الكسري واعتبر الرقم الكسري هو الإجابة.
  • لتحويل كسر غير منتظم ، اضرب الجزء الصحيح من العدد الكسري في مقام الكسر ثم أضفه إلى البسط. على سبيل المثال ، 1 2/3 = ((1 × 3) + 2) / 3 = 5/3. ثم ، إذا رغبت في ذلك ، يمكنك التحويل إلى كسور مكافئة حسب الحاجة. على سبيل المثال ، 5/3 × 2/2 = 10/6، والتي لا تزال تساوي 1 2/3.
  • ومع ذلك ، لا نحتاج إلى التحويل إلى الكسر غير المنتظم على النحو الوارد أعلاه. تجاهل جزء العدد الصحيح ، وقم بتحويل جزء الكسر فقط ، ثم أضف جزء الرقم الكامل مرة أخرى إلى جزء الكسر المحول. على سبيل المثال ، بالنسبة لـ 3 4/16 ، سننظر فقط في 4/16. 4/16 & قسمة؛ 4/4 = 1/4. بإضافة الجزء الصحيح مرة أخرى ، لدينا العدد الكسري الجديد 3 1/4.

تحذير

• يتم استخدام الضرب والقسمة لإنشاء كسور متكافئة لأن الضرب والقسمة على الشكل الكسري للرقم 1 (2/2 ، 3/3 ، إلخ) بالتعريف ليس له تأثير على القيم الكسرية. أصلي. الجمع والطرح لا يفعلان ذلك.
• بالرغم من أنك تضرب المقام والمقام عند ضرب الكسور ، لا يمكنك جمع أو طرح المقام عند جمع أو طرح الكسور.
  • كما في المثال أعلاه ، نرى أن 4/8 ÷ 4/4 = 1/2. إذا كنت بدلا من ذلك زائد بالنسبة لـ 4/4 ، ستكون الإجابة مختلفة تمامًا. 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 حسن 3/2، لا توجد إجابة تساوي 4/8.