المحتوى

• خطوات
• نصائح

للدالة الكسرية الصيغة y = N (x) / D (x) ، حيث N و D كثيرات الحدود. لرسم مثل هذه الوظيفة بدقة ، أنت بحاجة إلى معرفة جيدة بالجبر ، بما في ذلك الحسابات التفاضلية. خذ بعين الاعتبار المثال التالي: ذ = (2x - 6x + 5)/(4x + 2).

خطوات

1. 1 أوجد الجزء المقطوع من المحور y في الرسم البياني. للقيام بذلك ، عوض عن x = 0 في الدالة واحصل على y = 5/2. وبالتالي ، فإن نقطة تقاطع الرسم البياني مع المحور Y لها إحداثيات (0 ، 5/2).ضع هذه النقطة على مستوى الإحداثيات.
2. 2 أوجد الخطوط المقاربة الأفقية. قسّم البسط على المقام (في عمود) لتحديد سلوك "y" بقيم "x" تميل إلى اللانهاية. في مثالنا ، سيكون التقسيم ذ = (1/2)x - (7/4) + 17/(8x + 4). للقيم الكبيرة الموجبة أو السالبة لـ "x" 17 / (8x + 4) يميل إلى الصفر ، ويقترب الرسم البياني من الخط المستقيم المعطى من خلال الدالة ذ = (1/2)x - (7/4). باستخدام الخط المنقط ، ارسم هذه الوظيفة.
   • إذا كانت درجة البسط أقل من درجة المقام ، فلا يمكنك قسمة البسط على المقام وسيتم وصف الخط المقارب بالدالة في = 0.
   • إذا كانت درجة البسط تساوي درجة المقام ، فإن الخط المقارب هو خط أفقي يساوي نسبة المعاملات عند "x" في أعلى درجة.
   • إذا كانت درجة البسط أكبر من درجة المقام بواحد ، فإن الخط المقارب هو خط مستقيم مائل ، وميله يساوي نسبة المعاملات عند "x" إلى أعلى درجة.
   • إذا كانت درجة البسط أكبر من درجة المقام بمقدار 2 ، 3 ، إلخ ، ثم للقيم الكبيرة |NS| المعنى في تميل إلى اللانهاية (موجب أو سالب) في شكل مربع أو مكعب أو درجة أخرى من كثير الحدود. في هذه الحالة ، على الأرجح ، لا تحتاج إلى إنشاء رسم بياني دقيق للدالة التي تم الحصول عليها بقسمة البسط على المقام.
3. 3 أوجد أصفار الدالة. للدالة الكسرية أصفار عندما يكون بسطها صفرًا ، أي N (NS) = 0. في مثالنا 2x - 6x + 5 = 0. مميز هذه المعادلة التربيعية: ب - 4أ = 6-4 * 2 * 5 = 36-40 = -4. بما أن المميز سالب ، فإن N (NS) ، وبالتالي F (NS) ليس له جذور حقيقية. لا يتقاطع الرسم البياني للدالة الكسرية مع المحور X. إذا كانت الدالة تحتوي على أصفار (جذور) ، فضعها على المستوى الإحداثي.
4. 4 أوجد الخطوط المقاربة العمودية. للقيام بذلك ، اضبط المقام على صفر. في مثالنا ، 4x + 2 = 0 و NS = -1/2. ارسم الخط المقارب العمودي باستخدام الخط المنقط. إذا لبعض القيمة NS ن (NS) = 0 و D (NS) = 0 ، فإن الخط المقارب العمودي إما موجود أو غير موجود (هذه حالة نادرة ، لكن من الأفضل تذكرها).
5. 5 انظر إلى باقي البسط مقسومًا على المقام. هل هي موجبة أم سلبية أم صفر؟ في مثالنا ، الباقي هو 17 ، وهو أمر موجب. المقام 4x + 2 موجب على يمين الخط المقارب العمودي والسالب على يساره. هذا يعني أن الرسم البياني للدالة الكسرية للقيم الموجبة الكبيرة NS يقترب من الخط المقارب من أعلى ، وللقيم السلبية الكبيرة NS - من الأسفل. منذ 17 / (8x + 4) لا يساوي الصفر أبدًا ، فلن يتقاطع الرسم البياني لهذه الوظيفة أبدًا مع الخط المستقيم المحدد بواسطة الوظيفة في = (1/2)NS - (7/4).
6. 6 البحث عن القيم القصوى المحلية. يوجد حد أقصى محلي لـ N '(x) د (x) - ن (x) د '(x) = 0. في مثالنا ، N '(x) = 4x - 6 و D '(x) = 4. N '(x) د (x) - ن (x) د '(x) = (4x - 6)(4x + 2) - (2x - 6x + 5)*4 = x + x - 4 = 0. حل هذه المعادلة تجد ذلك x = 3/2 و x = -5 / 2. (هذه ليست قيمًا دقيقة تمامًا ، لكنها مناسبة لحالتنا عندما لا تكون هناك حاجة إلى الدقة الفائقة.)
7. 7 أوجد القيمة في لكل طرف محلي. للقيام بذلك ، استبدل القيم NS في الدالة المنطقية الأصلية. في مثالنا f (3/2) = 1/16 و f (-5/2) = -65/16. ضع النقاط (3/2 ، 1/16) و (-5/2 ، -65/16) جانبًا على مستوى الإحداثيات. نظرًا لأن الحسابات تستند إلى قيم تقريبية (من الخطوة السابقة) ، فإن الحد الأدنى والحد الأقصى اللذين تم العثور عليهما ليسا دقيقين تمامًا (ولكن ربما يكونان قريبين جدًا من القيم الدقيقة). (النقطة (3/2 ، 1/16) قريبة جدًا من الحد الأدنى المحلي. بدءًا من الخطوة 3 ، نعلم ذلك في دائما ايجابية ل NS> -1/2 ، ووجدنا قيمة صغيرة (1/16) ؛ وبالتالي ، فإن قيمة الخطأ صغيرة للغاية في هذه الحالة.)
8. 8 قم بتوصيل النقاط المعلقة وقم بتمديد الرسم البياني بسلاسة إلى الخطوط المقاربة (لا تنس الاتجاه الصحيح للرسم البياني الذي يقترب من الخطوط المقاربة). تذكر أن الرسم البياني يجب ألا يتقاطع مع المحور السيني (راجع الخطوة 3). لا يتقاطع الرسم البياني أيضًا مع الخطوط المقاربة الأفقية والعمودية (راجع الخطوة 5). لا تغير اتجاه الرسم البياني إلا عند النقاط القصوى الموجودة في الخطوة السابقة.

نصائح

• إذا اتبعت الخطوات المذكورة أعلاه بدقة بالترتيب ، فلا داعي لحساب المشتقات الثانية (أو الكميات المعقدة المماثلة) لاختبار الحل الخاص بك.
• إذا لم تكن بحاجة إلى حساب قيم الكميات ، فيمكنك استبدال إيجاد القيم القصوى المحلية بحساب بعض أزواج الإحداثيات الإضافية (NS, في) بين كل زوج من الخطوط المقاربة. علاوة على ذلك ، إذا كنت لا تهتم بكيفية عمل الطريقة الموصوفة ، فلا تتفاجأ لماذا لا يمكنك العثور على المشتق وحل المعادلة N '(x) د (x) - ن (x) د '(x) = 0.
• في بعض الحالات ، سيتعين عليك التعامل مع كثيرات الحدود ذات الترتيب الأعلى. إذا لم تتمكن من إيجاد الحل الدقيق باستخدام العوامل والصيغ وما إلى ذلك ، فقم بتقدير الحلول الممكنة باستخدام الطرق العددية مثل طريقة نيوتن.
• في حالات نادرة ، يشترك البسط والمقام في عامل متغير مشترك. وفقًا للخطوات الموضحة ، سيؤدي ذلك إلى صفر وخط مقارب عمودي في نفس المكان. لكن هذا غير ممكن ، والتفسير واحد مما يلي:
  • صفر في N (NS) لديه تعدد أعلى من صفر في D (NS). الرسم البياني F (NS) يميل إلى الصفر في هذه المرحلة ، لكن لم يتم تعريفه هناك. أشر إلى ذلك برسم دائرة حول النقطة.
  • صفر في N (NS) وصفر في D (NS) لها نفس التعددية. يقترب الرسم البياني من بعض النقاط غير الصفرية عند هذه القيمة NSولكن لم يتم تعريفها فيه. أشر إلى ذلك برسم دائرة حول النقطة.
  • صفر في N (NS) لديه تعدد أقل من صفر في D (NS). يوجد خط مقارب عمودي هنا.