المحتوى

• لتخطو
• الطريقة 1 من 2: طول أضلاع المثلث القائم الزاوية
• الطريقة 2 من 2: احسب المسافة بين نقطتين في المستوى
• نصائح

تصف نظرية فيثاغورس طول أضلاع المثلث القائم الزاوية بطريقة أنيقة وعملية لدرجة أنها لا تزال مستخدمة على نطاق واسع. ينص هذا على أنه بالنسبة لأي مثلث قائم الزاوية ، فإن مجموع مربعات الأضلاع المستقيمة يساوي مربع الوتر. بمعنى آخر ، بالنسبة لمثلث قائم الزاوية (مثلث له أضلاع متعامدة مع بعضها البعض) ، بطول أ و ب ووتر طوله ج: أ + ب = ج. تعد نظرية فيثاغورس أحد أعمدة الهندسة ولها العديد من التطبيقات العملية - باستخدام هذه النظرية ، على سبيل المثال ، من السهل جدًا العثور على المسافة بين نقطتين في مستوى مسطح.

لتخطو

الطريقة 1 من 2: طول أضلاع المثلث القائم الزاوية

1. تحقق مما إذا كنت تتعامل مع مثلث قائم الزاوية. لا يمكن استخدام نظرية فيثاغورس إلا مع المثلثات القائمة ، لذا قبل المتابعة من المهم التحقق من أن مثلثك يتوافق مع تعريف المثلث القائم. لحسن الحظ ، هناك عامل واحد فقط حاسم في هذا الصدد - يجب أن تكون إحدى زوايا المثلث 90 درجة.
   • كدليل ، غالبًا ما يتم تمييز الزوايا القائمة بقوس مربع صغير للإشارة إلى أن هذه زاوية 90 درجة. تحقق مما إذا كان هناك مثل هذا القوس في أحد أركان المثلث.
2. عيّن المتغيرات أ وب وج لأضلاع المثلث. في نظرية فيثاغورس ، يشير المتغيران a و b إلى الضلع الأيمن للمثلث ، ويشير المتغير c إلى الوتر - الضلع الطويل المقابل للزاوية القائمة. لذلك ، في البداية ، تقوم بتعيين المتغيرين a و b (الترتيب لا يهم) على الضلع المستقيم و c الذي تقوم بتعيينه للوتر.
3. حدد أي جانب من المثلث تريد معرفته. تسمح لك نظرية فيثاغورس بإيجاد طول كل ضلع من أضلاع المثلث بشرط معرفة ضلعين. حدد أي من الأضلاع له طول غير معروف - أ, بو / أو ج. إذا كان هناك واحد فقط غير معروف ، يمكنك المتابعة.
   • لنفترض أننا نعلم أن طول الوتر 5 وأن طول أحد الضلعين الآخرين هو 3. طول الضلع المتبقي غير معروف. بما أن ضلعين معروفين ، يمكننا المضي قدمًا في حساب طول الضلع المجهول! سنستخدم هذا المثال مرة أخرى لاحقًا.
   • إذا كان طول اثنين من الأضلاع غير معروفة ، يجب عليك تحديد طول جانب واحد آخر على الأقل لتتمكن من استخدام نظرية فيثاغورس. يمكن أن تساعدك الدوال المثلثية الأساسية في ذلك ، بشرط أن تعرف إحدى الزوايا الأخرى غير القائمة للمثلث.
4. احسب باستخدام المعادلة والأشخاص الذين تعرفهم. أدخل قيم طول أضلاع المثلث في المعادلة أ + ب = ج. تذكر أن a و b هما الضلعان المستقيمان وأن c هو الوتر.
   • في مثالنا ، نعرف طول الضلع وطول الوتر (3 و 5) ، لذلك نكتب معادلتنا على النحو التالي: 3² + ب² = 5²
5. احسب المربعات. لحل المعادلة ، ابدأ بتربيع كل من الأضلاع المعروفة. إذا وجدت هذا أسهل ، يمكنك ترك القوة وتربيعها لاحقًا.
   • في مثالنا ، نربّع 3 و 5 للحصول على عدد مرات التكرار. 9 و 25 لتأخذ، لتمتلك. يمكننا الآن إعادة كتابة المعادلة بالشكل 9 + ب² = 25.
6. افصل المتغير المجهول على أحد جانبي علامة التساوي. إذا لزم الأمر ، استخدم العمليات الجبرية القياسية لإيصال المجهول إلى جانب واحد من علامة التساوي والمربعات على الجانب الآخر. إذا كنت تحاول إيجاد الوتر ، فإن c في النظرية موجودة بالفعل في جانب واحد ، لذا يمكنك تخطي هذه الخطوة.
   • في مثالنا ، المعادلة الآن 9 + b² = 25. لعزل b & sup2 ، نطرح 9 من كلا طرفي المعادلة. هذا يترك لنا ب² = 16.
7. خذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة. يجب أن يكون لديك الآن مربع (متغير) في أحد طرفي المعادلة ورقم في الجانب الآخر. الآن اسحب الجذر التربيعي لكلا الجانبين لإيجاد طول المجهول.
   • في مثالنا ، b² = 16 ، المعادلة بعد الجذر التربيعي هي b = 4. لذا يمكننا القول إن طول الضلع المجهول للمثلث يساوي 4.
8. استخدم نظرية فيثاغورس عمليًا. سبب استخدام نظرية فيثاغورس كثيرًا هو أنها قابلة للتطبيق لحل العديد من المشكلات العملية. تعلم كيفية التعرف على المثلثات القائمة في العالم من حولك - حيثما يمكنك التعرف على مثلث قائم الزاوية على كائن واحد أو أكثر ، فإن نظرية فيثاغورس قابلة للتطبيق للعثور على طول أحد الأضلاع ، بشرط أن يكون هناك جانبان أو زاويتان.كن مشهورًا.
   • لنأخذ مثالاً من العالم الحقيقي. سلم يتكئ على الحائط. يقع أسفل السلم على بعد 5 أمتار من الحائط. يصل السلم إلى 20 مترا من أسفل الجدار. كم طول السلم؟
     • "5 أمتار هي المسافة إلى الحائط" و "السلم 20 مترا". يعطي هذا إشارة إلى طول أضلاع المثلث. نظرًا لأننا قد نفترض أن الجدار والأرض يشكلان زاوية قائمة وأن السلم يقابل الجدار قطريًا بزاوية ، فيمكننا اعتبار هذا الترتيب مثلثًا قائمًا بطول أ = 5 و ب = 20. طول السلم هو الوتر ، المتغير المجهول ج. دعنا نطبق نظرية فيثاغورس:
       • أ² + ب² = ج²
       • (5) ² + (20) ² = ج²
       • 25 + 400 = ج²
       • 425 = ج²
       • الجذر التربيعي (425) = ج
       • ج = 20.6. طول السلم (تقريبي) 20.6 مترا.

الطريقة 2 من 2: احسب المسافة بين نقطتين في المستوى

1. حدد نقطتين في المستوى. يمكن استخدام نظرية فيثاغورس بسهولة لإيجاد مسافة الخط المستقيم بين نقطتين في المستوى. كل ما تحتاجه هو إحداثيات x و y لأي نقطتين. عادة ما تتم كتابة هذه الإحداثيات كـ (س ، ص).
   • لإيجاد المسافة بين هاتين النقطتين ، نعتبر كل نقطة من رءوس مثلث قائم الزاوية لا تنتمي إلى الزاوية القائمة. هذا يجعل من السهل جدًا العثور على طول a و b ، وبعد ذلك يمكن حساب c (الوتر والمسافة بين النقطتين).
2. ارسم النقطتين على الرسم البياني. في المستوى X-Y ، لكل نقطة (x ، y) ، x هي نقطة على المحور x الأفقي و y هي نقطة على المحور y العمودي. يمكنك إيجاد المسافة بين الاثنين دون رسم بياني لهما ، ولكن القيام بذلك سيعطيك مرجعًا مرئيًا يمكنك استخدامه للتحقق مما إذا كانت إجابتك منطقية.
3. حدد طول الأضلاع المستقيمة للمثلث. من خلال اعتبار النقطتين زاويتين للمثلث المجاور للوتر ، يمكنك إيجاد طول الضلعين أ وب. يمكنك القيام بذلك باستخدام الرسم البياني ، أو باستخدام الصيغ | x₁ - س₂| للجانب الأفقي و | ص₁ - ذ₂| للجانب الرأسي ، حيث (x₁، ذ₁) هي النقطة الأولى و (x₂، ذ₂) النقطة الثانية.
   • افترض أن لدينا نقطتين (6،1) و (3،5). طول الضلع الأفقي للمثلث هو:
     • | x₁ - س₂|
     • |3 - 6|
     • | -3 | = 3
   • طول الضلع الرأسي:
     • | ذ₁ - ذ₂|
     • |1 - 5|
     • | -4 | = 4
   • إذن يمكننا القول إن طول ضلعي المثلث القائم الزاوية يساوي أ = 3 و ب = 4.
4. استخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد الوتر. المسافة بين النقطتين هي طول وتر المثلث. استخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد وتر المثلث بأضلاعه أ وب وج.
   • في مثالنا ، نعرف النقطتين (3،5) و (6،1) ، وأطوال الأضلاع أ = 3 و ب = 4 ، لذلك نحدد الوتر على النحو التالي:

     • (3) ² + (4) ² = ج²

       ج = الجذر التربيعي (9 + 16)

       ج = الجذر التربيعي (25)

       ج = 5. المسافة بين (3،5) و (6،1) هي 5.

نصائح

• إذا لم يكن المثلث مثلثًا قائمًا ، فلا يمكنك استخدام نظرية فيثاغورس فقط.
• الوتر دائمًا:
  • الخط المقابل للزاوية اليمنى
  • أطول ضلع في المثلث الأيمن
  • المتغير ج في نظرية فيثاغورس
• الجذر التربيعي (x) يعني "الجذر التربيعي لـ x".
• لا تنس أن تتحقق دائمًا من إجاباتك. إذا بدا أن الإجابة غير صحيحة ، فتحقق من حساباتك أو ابدأ من جديد.
• إذا كنت تعرف جانبًا واحدًا فقط من المثلث ، ولكن أيضًا أحد الزوايا الأخرى (ثم الزاوية القائمة) ، فاحسب أولاً ضلعًا آخر بما تعرفه عن حساب المثلثات (sin ، cos ، tan) أو النسب 30-60-90 / 45-45-90.
• فحص آخر - الضلع الأطول يقابل الزاوية الأكبر والأقصر يقابل الزاوية الأصغر.