حل أنظمة معادلات ذات متغيرين

فيديو: طريقة سحرية في حل نظام المعادلات الخطية

المحتوى

لتخطو
طريقة 1 من 3: استخدام طريقة الاستبدال
طريقة 2 من 3: استخدام طريقة الحذف
طريقة 3 من 3: ارسم المعادلات بيانيًا
نصائح
تحذيرات

في "نظام المعادلات" ، يُطلب منك حل معادلتين أو أكثر في نفس الوقت. عندما يحتوي هذان المتغيران على متغيرات مختلفة ، مثل x و y ، أو a و b ، فقد يكون من الصعب للوهلة الأولى معرفة كيفية حلهما. لحسن الحظ ، بمجرد أن تعرف ما يجب عليك فعله ، فإنك تحتاج فقط إلى بعض مهارات الرياضيات الأساسية (وأحيانًا بعض المعرفة الجزئية) لحل المشكلة. إذا لزم الأمر ، أو إذا كنت طالبًا مرئيًا ، فتعلم كيفية رسم المعادلات أيضًا. يمكن أن يكون الرسم البياني (الرسم) للرسم البياني مفيدًا "لمعرفة ما يحدث" ، أو للتحقق من عملك ، ولكنه قد يكون أيضًا أبطأ من الطرق الأخرى ولا يعمل مع جميع أنظمة المعادلات.

لتخطو

طريقة 1 من 3: استخدام طريقة الاستبدال

انقل المتغيرات إلى جوانب مختلفة من المعادلة. تبدأ طريقة "التعويض" هذه بـ "إيجاد قيمة x" (أو أي متغير آخر) في إحدى المعادلات. على سبيل المثال ، لدينا المعادلات التالية: 4 س + 2 ص = 8 و 5 س + 3 س = 9. بادئ ذي بدء ، ننظر إلى المقارنة الأولى. أعد الترتيب بطرح 2y من كل جانب ، وستحصل على: 4 س = 8-2 ص.
- غالبًا ما تستخدم هذه الطريقة الكسور في مرحلة لاحقة. يمكنك أيضًا استخدام طريقة الحذف أدناه إذا كنت تفضل عدم التعامل مع الكسور.
اقسم طرفي المعادلة لإيجاد قيمة "x". بمجرد أن يكون لديك المصطلح x (أو أي متغير تستخدمه) في أحد طرفي المعادلة ، اقسم طرفي المعادلة لعزل المتغير. على سبيل المثال:
- 4 س = 8-2 ص
- (4x) / 4 = (8/4) - (2y / 4)
- س = 2 - ص
عوض بهذا في المعادلة الأخرى. تأكد من العودة إلى آحرون المقارنة ، وليس تلك التي استخدمتها بالفعل. في هذه المعادلة ، تستبدل المتغير الذي حلته ، تاركًا متغيرًا واحدًا فقط. على سبيل المثال:
- أنت تعرف الآن أن: س = 2 - ص.
- المعادلة الثانية التي لم تغيرها بعد هي: 5 س + 3 س = 9.
- في المعادلة الثانية ، يستعاض عن x بعبارة "2 - y": 5 (2 - y) + 3y = 9.
حل المتغير المتبقي. لديك الآن معادلة بمتغير واحد فقط. استخدم تقنيات الجبر الشائعة لحل هذا المتغير. إذا كانت المتغيرات تلغي بعضها البعض ، فانتقل إلى الخطوة الأخيرة. بخلاف ذلك ، ينتهي بك الأمر بإجابة أحد المتغيرات الخاصة بك:
- 5 (2 - y) + 3y = 9
- 10 - (5/2) ص + 3 ص = 9
- 10 - (5/2) ص + (6/2) ص = 9 (إذا كنت لا تفهم هذه الخطوة ، فتعلم كيفية جمع الكسور. غالبًا ، ولكن ليس دائمًا ، ضروريًا مع هذه الطريقة).
- 10 + ½y = 9
- ½y = -1
- ص = -2
استخدم الإجابة لحل المتغير الآخر. لا ترتكب خطأ إنهاء المشكلة في منتصف الطريق. سيتعين عليك إعادة إدخال الإجابة التي حصلت عليها في إحدى المعادلات الأصلية حتى تتمكن من حل المتغير الآخر:
- أنت تعرف الآن أن: ص = -2
- إحدى المعادلات الأصلية هي: 4 س + 2 ص = 8. (يمكن استخدام كلا المعادلتين في هذه الخطوة).
- قم بتوصيل -2 بدلاً من y: 4 س + 2 (-2) = 8.
- 4 س - 4 = 8
- 4 س = 12
- س = 3
تعرف على ما يجب فعله إذا ألغى كلا المتغيرين بعضهما البعض. عندما انت س = 3 ص + 2 أو الحصول على إجابة مماثلة في المعادلة الأخرى ، فأنت تحاول الحصول على معادلة بمتغير واحد فقط. في بعض الأحيان ينتهي بك الأمر مع معادلة بدلاً من ذلك بدون المتغيرات. تحقق مرة أخرى من عملك ، وتأكد من استبدال المعادلة الأولى (المعاد ترتيبها) في المعادلة الثانية ، وليس المعادلة الأولى. إذا كنت متأكدًا من أنك لم ترتكب أي أخطاء ، فستحصل على إحدى النتائج التالية:
- إذا انتهى بك الأمر إلى معادلة بدون متغيرات وكان هذا غير صحيح (على سبيل المثال 3 = 5) ، إذن لديك مشكلة لا حل. (إذا قمت برسم المعادلات بيانيًا ، فسترى أنها متوازية ولا تتقاطع أبدًا).
- إذا انتهى بك الأمر إلى معادلة بدون متغيرات ، إلا تلك نحن سوف صحيح (على سبيل المثال ، 3 = 3) ، إذًا هناك مشكلة عدد لا حصر له من الحلول. المعادلتان متساويتان تمامًا. (إذا قمت برسم المعادلتين بالرسم البياني ، فسترى أنهما متداخلان تمامًا).

طريقة 2 من 3: استخدام طريقة الحذف

يحدد المتغير المراد حذفه. في بعض الأحيان تقوم المعادلات "بإزالة" بعضها البعض في المتغير بمجرد جمعها معًا. على سبيل المثال ، عندما تفعل المعادلات 3 س + 2 ص = 11 و 5 س - 2 ص = 13 يجمع ، سيؤدي "+ 2y" و "-2y" إلى إلغاء بعضهما البعض ، مع كل "yيتم حذف s من المعادلة. انظر إلى المعادلات في مشكلتك لمعرفة ما إذا كان سيتم حذف أي من المتغيرات بهذه الطريقة. إذا لم يتم حذف أي من المتغيرات ، فتابع القراءة للخطوة التالية للحصول على المشورة.
اضرب معادلة لإلغاء متغير. (تخطى هذه الخطوة إذا كانت المتغيرات قد ألغت بعضها البعض بالفعل). إذا لم يتم إلغاء أي من المتغيرات في المعادلات من تلقاء نفسها ، فعليك تغيير إحدى المعادلات بحيث يتم حلها. يسهل فهم هذا بمثال:
- افترض أن لديك نظام المعادلات 3 س - ص = 3 و -س + 2 ص = 4.
- دعنا نغير المعادلة الأولى بحيث يكون المتغير ذ تم القضاء عليه. (يمكنك أيضًا القيام بذلك من أجل X افعل واحصل على نفس الإجابة).
- ال - ص " من المعادلة الأولى مع + 2 س في المعادلة الثانية. يمكننا القيام بذلك عن طريق - ذ اضرب ب 2.
- نضرب طرفي المعادلة الأولى في 2 ، على النحو التالي: 2 (3 س - ص) = 2 (3)، وهكذا 6 س - 2 ص = 6. الآن سوف - سنتان تقع بعيدا عن + 2 س في المعادلة الثانية.
اجمع المعادلتين. لتتمكن من الجمع بين معادلتين ، اجمع الطرفين الأيمن والأيسر معًا. إذا كنت قد كتبت المعادلة بشكل صحيح ، فيجب إلغاء أحد المتغيرات مقابل الآخر. إليك مثال باستخدام نفس المعادلات كخطوة أخيرة:
- معادلاتك هي: 6 س - 2 ص = 6 و -س + 2 ص = 4.
- اجمع الجوانب اليسرى: 6 س - 2 ص - س + 2 ص =؟
- اجمع الجوانب اليمنى: 6 س - 2 ص - س + 2 ص = 6 + 4.
حل من أجل المتغير الأخير. بسّط المعادلة المجمعة ثم استخدم الجبر الأساسي لحل المتغير الأخير. إذا لم تكن هناك متغيرات متبقية بعد التبسيط ، فتابع إلى الخطوة الأخيرة في هذا القسم. خلافًا لذلك ، يجب أن تنتهي بإجابة بسيطة لأحد المتغيرات الخاصة بك. على سبيل المثال:
- عندك: 6 س - 2 ص - س + 2 ص = 6 + 4.
- اجمع المتغيرات X و ذ مع بعض: 6 س - س - 2 ص + 2 ص = 6 + 4.
- تبسيط: 5 س = 10
- حل ل x: (5x) / 5 = 10/5، لهذا السبب س = 2.
قم بحل المتغيرات الأخرى. لقد وجدت متغيرًا واحدًا ، لكنك لم تنته بعد. عوّض بإجابتك في إحدى المعادلات الأصلية حتى تتمكن من حل المتغير الآخر. على سبيل المثال:
- هل تعلم أن س = 2، وتلك إحدى معادلاتك الأصلية 3 س - ص = 3 هو.
- قم بتوصيل 2 في ، بدلاً من x: 3 (2) - ص = 3.
- حل y في المعادلة: 6 - ص = 3
- 6 - ص + ص = 3 + ص، وبالتالي 6 = 3 + ص
- 3 = ص
تعرف على ما يجب فعله عندما يلغي كلا المتغيرين بعضهما البعض. أحيانًا ينتج عن الجمع بين معادلتين معادلة ليس لها معنى أو لا تساعدك في حل المشكلة. تحقق جيدًا من عملك من البداية ، ولكن إذا لم ترتكب أي خطأ ، فاكتب إحدى الإجابات التالية:
- إذا كانت معادلتك المجمعة لا تحتوي على متغيرات ولم تكن صحيحة (مثل 2 = 7) ، فهناك لا حل الذي يحمل كلا المعادلتين. (إذا قمت برسم كلتا المعادلتين ، فسترى أنهما متوازيتان ولا تتقاطعان أبدًا).
- إذا كانت معادلتك المجمعة لا تحتوي على متغيرات وكانت صحيحة (مثل 0 = 0) ، فهناك عدد لا حصر له من الحلول. المعادلتان متطابقتان في الواقع. (إذا قمت بوضعها في رسم بياني ، فسترى أنها متداخلة تمامًا مع بعضها البعض).

طريقة 3 من 3: ارسم المعادلات بيانيًا

استخدم هذه الطريقة فقط عند تحديدها. ما لم تكن تستخدم جهاز كمبيوتر أو آلة حاسبة بالرسوم البيانية ، لا يمكن حل العديد من أنظمة المعادلات إلا تقريبًا باستخدام هذه الطريقة. قد يطلب منك معلمك أو كتاب الرياضيات استخدام هذه الطريقة ، لذلك ربما تكون على دراية بالمعادلات الرسومية مثل الخطوط. يمكنك أيضًا استخدام هذه الطريقة للتحقق مما إذا كانت إجاباتك من أي من الطرق الأخرى صحيحة.
- الفكرة الأساسية هي أن ترسم كلتا المعادلتين بالرسم البياني وتحدد نقطة تقاطعهما. تعطي قيمتي x و y عند هذه النقطة قيمة x وقيمة y في نظام المعادلات.
حل المعادلتين من أجل y. احتفظ بالمعادلتين منفصلين ، واستخدم الجبر لتحويل كل معادلة إلى الصيغة "y = __x + __". على سبيل المثال:
- المعادلة الأولى هي: 2 س + ص = 5. قم بتغيير هذا إلى: ص = -2 س + 5.
- المعادلة الثانية هي: -3 س + 6 ص = 0. قم بتغيير هذا إلى 6 ص = 3 س + 0، وتبسيط إلى ص = ½x + 0.
- هل كلا المعادلتين متطابقتان، ثم يصبح الخط بأكمله "نقطة تقاطع". كتابة: حلول لا نهائية.
ارسم نظام إحداثيات. ارسم "محور ص" عمودي و "محور س" أفقي على ورقة الرسم البياني. ابدأ من النقطة التي تتقاطع فيها الخطوط ، وقم بتسمية الأرقام 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، وما إلى ذلك ، لأعلى المحور y ومرة أخرى على طول المحور x. قم بتسمية الأرقام -1 و -2 وما إلى ذلك على طول المحور ص لأسفل وإلى اليسار على طول المحور س.
- إذا لم يكن لديك ورق رسم بياني ، فاستخدم مسطرة للتأكد من أن الأرقام متباعدة بشكل متساوٍ.
- إذا كنت تستخدم أرقامًا كبيرة أو منازل عشرية ، فقد تحتاج إلى قياس الرسم البياني. (على سبيل المثال 10 ، 20 ، 30 أو 0.1 ، 0.2 ، 0.3 بدلاً من 1 ، 2 ، 3).
ارسم تقاطع y لكل خط. بمجرد أن يكون لديك معادلة في النموذج ص = __x + __ يمكنك البدء في رسمها عن طريق إعداد نقطة حيث يتقاطع الخط مع المحور الصادي. هذا دائمًا عند قيمة y ، يساوي الرقم الأخير في هذه المعادلة.
- في الأمثلة المذكورة سابقًا ، سطر واحد (ص = -2 س + 5) في المحور ص 5. الخط الآخر (ص = ½x + 0) يمر عبر نقطة الصفر 0. (هذه نقطتان (0.5) و (0.0) في الرسم البياني).
- حدد كل سطر بلون مختلف ، إن أمكن.
استخدم المنحدر لمواصلة رسم الخطوط. في التشكيل ص = __x + __، هو رقم x th ميل خارج الخط. في كل مرة يتم زيادة x بمقدار واحد ، ستزداد قيمة y مع قيمة المنحدر. استخدم هذه المعلومات لإيجاد النقطة على الرسم البياني لكل خط عند x = 1. (بدلًا من ذلك ، استبدل x = 1 لكل معادلة وحل من أجل y).
- في مثالنا ، الخط به ص = -2 س + 5 منحدر -2. عند x = 1 ، ينخفض الخط 2 تحت من النقطة س = 0. ارسم قطعة مستقيمة بين (0.5) و (1.3).
- القاعدة ص = ½x + 0منحدر ½. عند x = 1 ، ينتقل الخط إلى ½ فوق من النقطة x = 0. ارسم قطعة مستقيمة بين (0،0) و (1، ½).
- عندما يكون للخطوط نفس المنحدر لن تتقاطع الخطوط أبدًا ، لذلك لا يوجد حل لنظام المعادلات. كتابة: لا حل.
استمر في رسم الخطوط حتى تتقاطع. توقف وانظر إلى الرسم البياني الخاص بك. إذا تقاطعت الخطوط بالفعل ، فانتقل إلى الخطوة التالية. بخلاف ذلك ، تتخذ قرارًا بناءً على ما تفعله الخطوط:
- بينما تتحرك الخطوط نحو بعضها البعض ، تستمر في رسم النقاط في هذا الاتجاه.
- إذا كانت الخطوط تتحرك بعيدًا عن بعضها البعض ، فارجع للخلف وارسم النقاط في الاتجاه الآخر ، بدءًا من x = -1.
- إذا لم تكن الخطوط قريبة من بعضها البعض ، فانتقل للأمام وارسم نقاطًا أبعد ، مثل x = 10.
أوجد الإجابة عند تقاطع المستقيمين. بمجرد تقاطع الخطين ، فإن قيمتي x و y عند هذه النقطة هي حل المشكلة. إذا كنت محظوظًا ، فستكون الإجابة عددًا صحيحًا. على سبيل المثال ، في أمثلةنا ، يتقاطع الخطان (2,1) هذا هو جوابك س = 2 وص = 1. في بعض أنظمة المعادلات ، ستتقاطع الخطوط عند قيمة بين عددين صحيحين ، وما لم يكن الرسم البياني الخاص بك دقيقًا للغاية ، فسيكون من الصعب تحديد مكان هذا. إذا كانت هذه هي الحالة ، يمكنك إعطاء إجابة مثل: "x تقع بين 1 و 2". يمكنك أيضًا استخدام طريقة الاستبدال أو طريقة الحذف للعثور على الإجابة الدقيقة.

نصائح

يمكنك التحقق من عملك عن طريق إدخال الإجابات مرة أخرى في المعادلات الأصلية. إذا كانت المعادلات صحيحة (على سبيل المثال ، 3 = 3) ، فإن إجابتك صحيحة.
في طريقة الحذف ، يتعين عليك أحيانًا ضرب معادلة في رقم سالب لحذف متغير.