المحتوى

• خطوات
• النصيحة

على عكس الخط المستقيم ، يتغير معامل الميل (الميل) باستمرار أثناء تحركه على طول المنحنى. يعطي التفاضل والتكامل فكرة أن كل نقطة على الرسم البياني يمكن التعبير عنها كمعامل زاوية أو "معدل التغير اللحظي". خط المماس عند نقطة ما هو خط له نفس الميل ويمر عبر نفس النقطة. لإيجاد معادلة خط الظل ، عليك أن تعرف كيفية اشتقاق المعادلة الأصلية.

خطوات

طريقة 1 من 2: أوجد معادلة خط المماس

1. 

   وظائف الرسم البياني وخطوط الظل (هذه الخطوة اختيارية ، لكنها موصى بها). سيسهل عليك الرسم البياني فهم المشكلة والتحقق مما إذا كانت الإجابة معقولة أم لا. ارسم الرسوم البيانية للوظائف على ورقة الشبكة ، واستخدم الآلة الحاسبة العلمية مع وظيفة الرسم البياني للرجوع إليها إذا لزم الأمر. ارسم خطًا مماسًا عبر نقطة معينة (تذكر أن خط المماس يمر عبر تلك النقطة وله نفس ميل الرسم البياني هناك).
   • مثال 1: رسم القطع المكافئ. ارسم خطًا مماسًا عبر النقطة (-6 ، -1).
     على الرغم من أنك لا تعرف معادلة الظل ، فلا يزال بإمكانك ملاحظة أن ميلها سالب وأن التقاطع سالب (أقل بكثير من قمة القطع المكافئ مع إحداثيات -5.5) إذا كانت الإجابة النهائية التي تم العثور عليها لا تتطابق مع هذه التفاصيل ، فيجب أن يكون هناك خطأ في الحساب وتحتاج إلى التحقق مرة أخرى.

2. 

   
   
   احصل على المشتق الأول لإيجاد المعادلة ميل من خط الظل. مع الدالة f (x) ، يمثل المشتق الأول f '(x) معادلة ميل خط الظل عند أي نقطة على f (x). هناك طرق عديدة لأخذ المشتقات. إليك مثال بسيط باستخدام قاعدة القوة:
   • مثال 1 (تابع): الرسم البياني معطى من خلال دالة.
     استدعاء قاعدة القوة عند أخذ المشتق:.
     المشتق الأول للدالة = f '(x) = (2) (0.5) x + 3 - 0.
     f '(x) = x + 3. استبدال x بأي قيمة a ، ستعطينا المعادلة ميل دالة الظل f (x) عند النقطة x = a.

3. 

   
   
   أدخل قيمة x للنقطة قيد الدراسة. اقرأ المسألة لإيجاد إحداثيات النقطة لإيجاد خط المماس. أدخل إحداثيات هذه النقطة في f '(x). النتيجة التي تم الحصول عليها هي ميل خط المماس عند النقطة أعلاه.
   • مثال 1 (تابع): النقطة المذكورة في المقال هي (-6 ، -1). استخدام الجهد القطري -6 في f '(x):
     و '(- 6) = -6 + 3 = -3
     ميل خط الظل هو -3.

4. 

   
   
   اكتب معادلة لخط المماس على شكل خط مستقيم مع معرفة معامل الزاوية والنقطة عليها. هذه المعادلة الخطية مكتوبة كـ. في داخل، م هو المنحدر ونقطة على خط المماس. لديك الآن كل المعلومات التي تحتاجها لكتابة معادلة الظل بهذه الصورة.
   • مثال 1 (تابع):
     ميل خط المماس هو -3 ، لذلك:
     يمر خط المماس بالنقطة (-6 ، -1) ، لذا فإن المعادلة النهائية هي:
     باختصار ، يمكننا:
     

5. 

   تأكيد رسومي. إذا كان لديك آلة حاسبة للرسم البياني ، فقم برسم الوظيفة الأصلية وخط المماس للتحقق مما إذا كانت الإجابة صحيحة. في حالة إجراء العمليات الحسابية على الورق ، استخدم الرسوم البيانية المرسومة مسبقًا للتأكد من عدم وجود أخطاء واضحة في إجابتك.
   • مثال 1 (تابع): يوضح الرسم الأولي أن خط المماس له معاملات سالبة للزاوية وأن الإزاحة أقل بكثير من -5.5. معادلة الظل التي تم إيجادها للتو هي y = -3x -19 ، مما يعني أن -3 هو ميل الزاوية و -19 هو الإحداثي.

6. 

   حاول حل مشكلة أكثر صعوبة. نذهب من خلال جميع الخطوات المذكورة أعلاه مرة أخرى.الهدف في هذه المرحلة هو إيجاد مماس عند x = 2:
   • أوجد المشتق الأول باستخدام قاعدة الأس :. ستعطينا هذه الدالة ميل المماس.
   • من أجل x = 2 ، أوجد. هذا هو الميل عند x = 2.
   • لاحظ أنه هذه المرة ، ليس لدينا نقطة والإحداثيات x فقط. لإيجاد إحداثي y ، استبدل x = 2 في الوظيفة الأصلية: النتيجة (2.27).
   • اكتب معادلة لخط المماس يمر بنقطة ويحدد معامل الزاوية:
     
     إذا لزم الأمر ، اختزل إلى y = 25x - 23.
   الإعلانات

الطريقة 2 من 2: حل المشكلات ذات الصلة

1. 

   أوجد الحد الأقصى على الرسم البياني. إنها النقاط التي يقترب فيها الرسم البياني من الحد الأقصى المحلي (نقطة أعلى من النقاط المجاورة على كلا الجانبين) أو الحد الأدنى المحلي (أقل من النقاط المجاورة على كلا الجانبين). دائمًا ما يكون لخط المماس معامل صفري عند هذه النقاط (خط أفقي). ومع ذلك ، فإن معامل الزاوية لا يكفي لاستنتاج أنها النقطة القصوى. إليك كيفية العثور عليها:
   • خذ المشتق الأول للدالة للحصول على f '(x) ، ميل منحدر خط المماس.
   • حل المعادلة f '(x) = 0 لإيجاد النقطة القصوى محتمل.
   • بأخذ المشتق التربيعي للحصول على f '(x) ، تخبرنا المعادلة بمعدل تغير ميل خط المماس.
   • في كل طرف محتمل ، قم بتغيير التنسيق أ في f '' (x). إذا كانت f '(a) موجبة ، فلدينا حد أدنى محلي عند أ. إذا كانت f '(a) سالبة ، فلدينا نقطة قصوى محلية. إذا كانت f '(a) تساوي 0 ، فلن تكون متطرفة ، إنها نقطة انعطاف.
   • إذا تم الوصول إلى الحد الأقصى أو الحد الأدنى عند أ، أوجد f (a) لتحديد التقاطع.

2. 

   أوجد المعادلات العادية. الخط "العمودي" لمنحنى عند نقطة معينة يمر a عبر تلك النقطة ويكون عموديًا على خط المماس. لإيجاد معادلة الخط العمودي ، استخدم ما يلي: (ميل العمودي) (ميل الخط العمودي) = -1 عندما يجتازون نفس النقطة على الرسم البياني. على وجه التحديد:
   • أوجد f '(x) ، ميل خط المماس.
   • إذا كان لدينا في نقطة معينة x = أ: أوجد f '(a) لتحديد الميل عند تلك النقطة.
   • احسب لإيجاد معامل العمودي.
   • اكتب معادلة العمود العمودي لمعرفة معاملات الزاوية والنقطة التي تمر بها.
   الإعلانات

النصيحة

• إذا لزم الأمر ، أعد كتابة المعادلة الأصلية في الشكل القياسي: f (x) = ... أو y = ...