المحتوى

• خطوات
• النصيحة

تُعرَّف السرعة بأنها سرعة جسم في اتجاه معين. في كثير من الحالات ، لإيجاد السرعة ، سنستخدم المعادلة v = s / t ، حيث v هي السرعة ، و s هي المسافة الكلية لإزاحة الجسم عن موضعه الأصلي ، و t هو الوقت الذي يستغرقه الجسم في الحركة. اذهب على طول الطريق. ومع ذلك ، من الناحية النظرية ، هذه الصيغة هي فقط للسرعة متوسط من الأشياء على الطريق. بحساب سرعة الجسم في أي لحظة على طول المسافة. هذا هو وقت النقل ويتم تعريفه بواسطة المعادلة الخامس = (دس) / (دت)، أو بعبارة أخرى ، هو مشتق من معادلة السرعة المتوسطة.

خطوات

جزء 1 من 3: احسب السرعة اللحظية

1. 

   
   
   ابدأ بمعادلة حساب السرعة بمسافة الإزاحة. لإيجاد السرعة اللحظية ، يجب أن يكون لدينا أولاً معادلة تشير إلى موضع الجسم (من حيث الإزاحة) في أي وقت. هذا يعني أن المعادلة يجب أن تحتوي على متغير واحد فقط س على جانب واحد والانعطاف ر على الجانب الآخر (ليس بالضرورة متغيرًا واحدًا فقط) ، مثل هذا:
   

   الصورة = -1.5 طن + 10 طن + 4

   • المتغيرات في هذه المعادلة هي:

     ق = الإزاحة. المسافة التي قطعها الجسم عن موضعه الأصلي. على سبيل المثال ، إذا كان بإمكان جسم ما أن يمشي 10 أمتار للأمام و 7 أمتار للخلف ، فإن مسافة السفر الإجمالية تكون 10-7 = 3 أمتار (ليس 10 + 7 = 17 م).

     ر = الوقت. هذا المتغير بسيط بدون تفسير ، ويقاس عادة في ثوان.

2. 

   
   
   خذ مشتق المعادلة. مشتق المعادلة هو معادلة أخرى توضح ميل المسافة في وقت معين. لإيجاد مشتق المعادلة بمسافة الإزاحة ، خذ تفاضل الدالة وفقًا للقاعدة العامة التالية لحساب المشتق: إذا كانت y = a * x ، المشتق = a * n * x. هذا ينطبق على جميع المصطلحات في الجانب "t" من المعادلة.
   • بمعنى آخر ، ابدأ في الحصول على التفاضل من اليسار إلى اليمين على الجانب "t" من المعادلة. كلما واجهت المتغير "t" ، تطرح الأس في 1 وتضرب المصطلح في الأس الأصلي. ستختفي أي مصطلحات ثابتة (بدون "t") لأنها مضروبة في 0. العملية في الواقع ليست بالصعوبة التي قد تتصورها - لنأخذ المعادلة في الخطوة أعلاه كمثال:
     

     الصورة = -1.5 طن + 10 طن + 4
     (2) -1.5 طن + (1) 10 طن + (0) 4 طن
     -3 طن + 10 طن
     -3 طن + 10

     
     

3. 

   استبدل حرف "s" بـ "ds / dt". لإظهار أن المعادلة الجديدة هي مشتق من المربع الأصلي ، نستبدل "s" بالرمز "ds / dt". من الناحية النظرية ، هذا الترميز هو "مشتق s بدلالة t". أبسط طريقة لفهم هذا الترميز ، ds / dt هو ميل أي نقطة في المعادلة الأولية. على سبيل المثال ، لإيجاد ميل المسافة الموصوفة في المعادلة s = -1.5t + 10t + 4 في الوقت t = 5 ، نعوض بـ "5" عن t في مشتق المعادلة.
   • في المثال أعلاه ، يبدو مشتق المعادلة كما يلي:
     

     ds / dt = -3t + 10

4. 

   عوّض بقيمة t في المعادلة الجديدة لإيجاد السرعة اللحظية. الآن بعد أن أصبح لدينا معادلة المشتقة ، أصبح إيجاد السرعة اللحظية في أي لحظة أمرًا سهلاً للغاية. كل ما عليك فعله هو اختيار قيمة t واستبدالها بالمعادلة المشتقة. على سبيل المثال ، إذا أردنا إيجاد السرعة اللحظية عند t = 5 ، نحتاج فقط إلى التعويض بـ "5" عن t في المعادلة المشتقة ds / dt = -3t + 10. سنحل المعادلة بهذا الشكل
   

   ds / dt = -3t + 10
   ds / dt = -3 (5) + 10
   ds / dt = -15 + 10 = -5 متر / ثانية

   • لاحظ أننا نستخدم وحدة "متر / ثانية" أعلاه.نظرًا لأننا نحل مشكلة الإزاحة بالأمتار والوقت بالثواني ، والسرعة هي الإزاحة في الوقت المناسب ، فهذه الوحدة مناسبة.
   الإعلانات

جزء 2 من 3: تقدير السرعة اللحظية بيانياً

1. 

   رسم مسافة حركة الكائن بمرور الوقت. قلنا في القسم أعلاه أن المشتق هو أيضًا معادلة تسمح لنا بإيجاد الميل عند أي نقطة في المعادلة مأخوذة من المشتق. في الواقع ، إذا عرضت المسافة المتحركة للكائن على الرسم البياني ، ميل الرسم البياني عند أي نقطة هو السرعة اللحظية للجسم عند تلك النقطة.
   • لرسم مسافات الحركة ، استخدم المحور x للوقت والمحور y للإزاحة. يمكنك بعد ذلك تحديد عدد من النقاط عن طريق إدخال قيم t في معادلة الحركة ، والنتيجة هي قيم s ، وتضع النقاط t ، s (x ، y) على الرسم البياني.
   • لاحظ أن الرسم البياني قد يمتد أسفل المحور السيني. إذا كان الخط الذي يظهر حركة الكائن ينخفض ​​على المحور x ، فهذا يعني أن الكائن يتحرك للخلف من موضعه الأصلي. بشكل عام ، لن يمتد الرسم البياني خلف المحور الصادي - فنحن عادة لا نقيس سرعة الأجسام التي تتحرك إلى الوراء في الوقت المناسب!

2. 

   حدد نقطة P ونقطة Q تقع بالقرب من النقطة P على الرسم البياني. لإيجاد ميل الرسم البياني عند النقطة P ، نستخدم تقنية "تحديد النهاية". إيجاد حد يعني أخذ نقطتين (P و Q (نقطة بالقرب من P)) على المنحنى وإيجاد ميل الخط الذي يربط بين هاتين النقطتين ، وتكرار هذه العملية مع تقصير المسافة بين P و Q. تدريجيا.
   • افترض أن مسافة الإزاحة بها نقطتان (1 ؛ 3) و (4 ؛ 7). في هذه الحالة ، إذا أردنا إيجاد الميل عند (1 ؛ 3) فيمكننا تعيينه (1 ؛ 3) = ص و (4 ؛ 7) = س.

3. 

   أوجد المنحدر بين P و Q. المنحدر بين P و Q هو الفرق بين قيم y لـ P و Q على اختلاف قيم x لـ P و Q. وبعبارة أخرى ، ح = (ص_س - ذ_ص) / (x_س - س_ص)، حيث H هو المنحدر بين نقطتين. في هذا المثال ، يكون المنحدر بين P و Q هو:
   

   ح = (ص_س - ذ_ص) / (x_س - س_ص)
   ع = (7 - 3) / (4-1)
   ع = (4) / (3) = 1,33

4. 

   كرر عدة مرات عن طريق تحريك Q بالقرب من P. الهدف هو تضييق المسافة بين P و Q حتى يصلوا إلى نقطة واحدة. كلما كانت المسافة بين P و Q أصغر ، كلما اقترب منحدر المقطع الصغير اللامتناهي من المنحدر عند النقطة P. كرر عدة مرات في معادلة المثال الخاص بنا ، باستخدام النقاط (2 ؛ 4 ، 8) ، (1.5 ؛ 3.95) و (1.25 ؛ 3.49) تعطي Q والإحداثيات الأولية لـ P هي (1 ؛ 3):
   

   س = (2 ؛ 4.8): ع = (4.8 - 3) / (2-1)
   ع = (1.8) / (1) = 1,8
   
   س = (1.5 ؛ 3.95): ع = (3.95 - 3) / (1.5 - 1)
   H = (0.95) / (0.5) = 1,9
   
   س = (1.25 ؛ 3.49): ع = (3.49 - 3) / (1.25 - 1)
   ع = (0.49) / (0.25) = 1,96

5. 

   تقدير ميل المقطع الصغير للغاية في منحنى الرسم البياني. مع اقتراب Q من P ، يقترب H تدريجيًا من المنحدر عند P. وأخيرًا ، عند خط صغير جدًا ، سيكون H هو المنحدر عند P. لأننا لا نستطيع القياس أو الحساب طول المقطع صغير للغاية ، لذا لا تقدر إلا الميل عند P عندما يكون مرئيًا بوضوح من النقاط التي نحسبها.
   • في المثال أعلاه ، عندما نقترب H من P ، لدينا قيم H هي 1،8 ؛ 1.9 و 1.96. نظرًا لأن هذه الأرقام تقترب من 2 ، يمكننا القول 2 هي القيمة التقريبية للمنحدر عند P.
   • تذكر أن الميل عند أي نقطة على الرسم البياني هو مشتق من معادلة الرسم البياني في تلك النقطة. بما أن الرسم البياني يوضح إزاحة كائن ما بمرور الوقت ، كما رأينا في القسم السابق ، فإن سرعته اللحظية في أي نقطة هي مشتق مسافة إزاحة الجسم عند نقطة المشكلة. الوصول ، يمكننا القول 2 متر / ثانية هو تقدير تقريبي للسرعة اللحظية عندما يكون t = 1.
   الإعلانات

جزء 3 من 3: نموذج مشكلة

1. 

   أوجد السرعة اللحظية عندما يكون t = 1 بمعادلة الإزاحة s = 5t - 3t + 2t + 9. مثل المثال الوارد في القسم الأول ، لكن هذا تكعيبي وليس تربيعي ، لذا يمكننا حل المسألة بنفس الطريقة.
   • أولاً ، خذ مشتق المعادلة:
     

     ق = 5 طن - 3 طن + 2 طن + 9
     ق = (3) 5 ت - (2) 3 ت + (1) 2 ت
     15 طن - 6 طن + 2 طن - 6 طن + 2

   • ثم نستبدل قيمة t (4) في:
     

     ق = 15 طن - 6 طن + 2
     15(4) - 6(4) + 2
     15(16) - 6(4) + 2
     240 - 24 + 2 = 22 مترا في الثانية

2. 

   استخدم طريقة تقدير الرسم البياني لإيجاد السرعة اللحظية عند (1 ؛ 3) لمعادلة الإزاحة s = 4t - t. بالنسبة لهذه المشكلة ، نستخدم الإحداثيات (1 ؛ 3) كنقطة P ، ولكن يجب أن نجد نقاط Q أخرى تقع بالقرب منها. ثم كل ما علينا فعله هو إيجاد قيم H واستنتاج القيمة المقدرة.
   • أولاً ، نجد نقاط Q عندما يكون t = 2 ؛ 1.5 ؛ 1.1 و 1.01.
     

     ق = 4 طن - ر
     
     ر = 2: ق = 4 (2) - (2)
     4 (4) - 2 = 16-2 = 14 ، إذن س = (2 ؛ 14)
     
     ر = 1.5: ق = 4 (1.5) - (1.5)
     4 (2.25) - 1.5 = 9 - 1.5 = 7.5 ، إذن س = (1.5 ؛ 7.5)
     
     ر = 1.1: ق = 4 (1.1) - (1.1)
     4 (1.21) - 1.1 = 4.84 - 1.1 = 3.74 ، إذن س = (1.1 ؛ 3.74)
     
     ر = 1.01: ق = 4 (1.01) - (1.01)
     4 (10201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704 ، هذا كل شيء س = (1.01 ؛ 3.0704)

   • بعد ذلك سوف نحصل على قيم H:
     

     س = (2 ؛ 14): ع = (14-3) / (2-1)
     ع = (11) / (1) = 11
     
     س = (1.5 ؛ 7.5): ع = (7.5 - 3) / (1.5 - 1)
     ع = (4.5) / (0.5) = 9
     
     س = (1.1 ؛ 3.74): ع = (3.74 - 3) / (1.1 - 1)
     ع = (0.74) / (0.1) = 7,3
     
     س = (1.01 ؛ 3.0704): ع = (3.0704 - 3) / (1.01 - 1)
     ع = (0.0704) / (0.01) = 7,04

   • نظرًا لأن قيم H تبدو أقرب إلى 7 ، فيمكننا قول ذلك 7 أمتار في الثانية هو التقدير التقريبي للسرعة اللحظية عند الإحداثيات (1 ؛ 3).
   الإعلانات

النصيحة

• لإيجاد التسارع (التغير في السرعة بمرور الوقت) ، استخدم الطريقة الموضحة في الجزء الأول للحصول على مشتق معادلة الإزاحة. ثم خذ المشتق مرة أخرى للمعادلة المشتقة التي أوجدتها للتو. والنتيجة هي أن لديك معادلة للتسارع في نقطة زمنية معينة - كل ما عليك فعله هو توصيل الوقت.
• يمكن أن تكون المعادلة التي توضح العلاقة بين Y (مسافة الإزاحة) و X (الوقت) بسيطة جدًا ، حيث أن Y = 6x + 3. في هذه الحالة ، يكون الميل ثابتًا وليس من الضروري أخذ المشتق لحساب الميل ، أي أنه يتبع المعادلة الأساسية Y = mx + b للرسم البياني الخطي ، أي الميل يساوي 6.
• مسافة الإزاحة تشبه المسافة ولكن لها اتجاه ، لذا فهي كمية متجهة ، والسرعة كمية قياسية. قد تكون مسافات السفر سلبية ، بينما قد تكون المسافات موجبة فقط.