المحتوى

• معلومات أولية
• خطوات
• جزء 1 من 3: الأساسيات
• جزء 2 من 3: خصائص تحويل لابلاس
• جزء 3 من 3: إيجاد تحويل لابلاس عن طريق التوسع المتسلسل

تحويل لابلاس هو تحويل متكامل يستخدم لحل المعادلات التفاضلية ذات المعاملات الثابتة. يستخدم هذا التحول على نطاق واسع في الفيزياء والهندسة.

بينما يمكنك استخدام الجداول المناسبة ، من المفيد فهم تحويل لابلاس حتى تتمكن من القيام بذلك بنفسك إذا لزم الأمر.

معلومات أولية

• إعطاء وظيفة ${ displaystyle f (t)}$محددة ل ${ displaystyle t geq 0.}$ ثم تحويل لابلاس وظيفة ${ displaystyle f (t)}$ هي الوظيفة التالية لكل قيمة ${ displaystyle s}$، حيث يتقارب التكامل:
  • ${ displaystyle F (s) = { mathcal {L}} {f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} ر}$
• يأخذ تحويل لابلاس وظيفة من منطقة t (مقياس الوقت) إلى المنطقة s (منطقة التحويل) ، حيث ${displaystyle F (s)}$ هي دالة معقدة لمتغير معقد. يسمح لك بنقل الوظيفة إلى منطقة يمكن فيها العثور على حل بسهولة أكبر.
• من الواضح أن تحويل لابلاس هو عامل تشغيل خطي ، لذلك إذا كنا نتعامل مع مجموع المصطلحات ، فيمكن حساب كل جزء على حدة.
  • ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} [af (t) + bg (t)] e ^ {- st} mathrm {d} t = a int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t + b int _ {0} ^ { infty} g (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• تذكر أن تحويل لابلاس لا يعمل إلا إذا تقارب التكامل. إذا كانت الوظيفة ${ displaystyle f (t)}$ من الضروري توخي الحذر وتحديد حدود التكامل بشكل صحيح لتجنب عدم اليقين.

خطوات

جزء 1 من 3: الأساسيات

1. 1 استبدل الوظيفة في صيغة تحويل لابلاس. من الناحية النظرية ، من السهل جدًا حساب تحويل لابلاس لوظيفة ما. كمثال ، ضع في اعتبارك الوظيفة ${ displaystyle f (t) = e ^ {at}}$، أين ${ displaystyle a}$ هو ثابت معقد مع ${ displaystyle operatorname {Re} (s) operatorname {Re} (a).}$
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} } = int _ {0} ^ { infty} e ^ {at} e ^ {- st} mathrm {d} t}$
2. 2 تقدير التكامل باستخدام الطرق المتاحة. في مثالنا ، التقدير بسيط للغاية ويمكنك الحصول عليه بحسابات بسيطة. في الحالات الأكثر تعقيدًا ، قد تكون هناك حاجة إلى طرق أكثر تعقيدًا ، على سبيل المثال ، التكامل حسب الأجزاء أو التفاضل تحت علامة التكامل. شرط القيد ${ displaystyle operatorname {Re} (s) operatorname {Re} (a)}$ يعني أن التكامل يتقارب ، أي أن قيمته تميل إلى 0 مثل ${ displaystyle t to infty.}$
   • ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} {e ^ {at} } & = int _ {0} ^ { infty} e ^ {(as) t} mathrm {d } t & = { frac {e ^ {(as) t}} {as}} Bigg _ {0} ^ { infty} & = { frac {1} {sa}} end {محاذاة}}}$
   • لاحظ أن هذا يعطينا نوعين من تحويل لابلاس ، بجيب وجيب التمام ، وفقًا لصيغة أويلر ${ displaystyle e ^ {iat}}$... في هذه الحالة نحصل على المقام ${ displaystyle s-ia،}$ ويبقى فقط تحديد الأجزاء الحقيقية والخيالية. يمكنك أيضًا تقييم النتيجة مباشرةً ، لكن هذا قد يستغرق وقتًا أطول قليلاً.
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { cos at } = operatorname {Re} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {s} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { sin at } = operatorname {Im} left ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {a} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
3. 3 ضع في اعتبارك تحويل لابلاس لوظيفة الطاقة. أولاً ، تحتاج إلى تحديد تحويل وظيفة الطاقة ، لأن الخاصية الخطية تسمح لك بالعثور على التحويل لـ للجميع كثيرات الحدود. دالة للنموذج ${ displaystyle t ^ {n}،}$ أين ${ displaystyle n}$ - أي عدد صحيح موجب. يمكن دمجها قطعة قطعة لتعريف قاعدة متكررة.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = int _ {0} ^ { infty} t ^ {n} e ^ {- st} mathrm {d} t = { frac {n} {s}} { mathcal {L}} {t ^ {n-1} }}$
   • يتم التعبير عن هذه النتيجة ضمنيًا ، ولكن إذا استبدلت عدة قيم ${ displaystyle n،}$ يمكنك إنشاء نمط معين (حاول أن تفعل ذلك بنفسك) ، والذي يسمح لك بالحصول على النتيجة التالية:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac {n!} {s ^ {n + 1}}}}$
   • يمكنك أيضًا تحديد تحويل لابلاس للقوى الكسرية باستخدام وظيفة جاما. على سبيل المثال ، بهذه الطريقة يمكنك العثور على تحويل وظيفة مثل ${ displaystyle f (t) = { sqrt {t}}.}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac { Gamma (n + 1)} {s ^ {n + 1}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {1/2} } = { frac { Gamma (3/2)} {s ^ {3/2}}} = { frac { sqrt { pi}} {2s { sqrt {s}}}}$
   • على الرغم من أن الوظائف ذات القوى الكسرية يجب أن يكون لها قطع (تذكر ، أي أعداد مركبة ${ displaystyle z}$ و ${ displaystyle alpha}$ يمكن كتابتها كـ ${ displaystyle z ^ { alpha}}$، بسبب ال ${ displaystyle e ^ { alpha operatorname {Log} z}}$) ، يمكن دائمًا تعريفها بطريقة تكمن التخفيضات في نصف المستوى الأيسر ، وبالتالي تجنب مشاكل التحليل.

جزء 2 من 3: خصائص تحويل لابلاس

1. 1 دعونا نجد تحويل لابلاس للدالة مضروبًا في هأر{ displaystyle e ^ {at}}. سمحت لنا النتائج التي تم الحصول عليها في القسم السابق بمعرفة بعض الخصائص المثيرة للاهتمام لتحويل لابلاس. يبدو أن تحويل لابلاس لوظائف مثل دالة جيب التمام والجيب والوظيفة الأسية أبسط من تحويل دالة القدرة. الضرب في ${ displaystyle e ^ {at}}$ في منطقة t يتوافق مع تحول في المنطقة s:
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- (sa) t} mathrm {د} t = F (sa)}$
   • تتيح لك هذه الخاصية على الفور العثور على تحويل وظائف مثل ${ displaystyle f (t) = e ^ {3t} sin 2t}$، دون الحاجة إلى حساب التكامل:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {3t} sin 2t } = { frac {2} {(s-3) ^ {2} +4}}}$
2. 2 دعونا نجد تحويل لابلاس للدالة مضروبًا في رن{ displaystyle t ^ {n}}. أولاً ، ضع في اعتبارك الضرب في ${ displaystyle t}$... بحكم التعريف ، يمكن للمرء أن يميز دالة تحت التكامل ويحصل على نتيجة بسيطة بشكل مدهش:
   • ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} {tf (t) } & = int _ {0} ^ { infty} tf (t) e ^ {- st} mathrm { د} t & = - int _ {0} ^ { infty} f (t) { frac { جزئي} { جزئي}} e ^ {- st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} s}} int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d} F} { mathrm {d} s}} end {align}}}$
   • بتكرار هذه العملية نحصل على النتيجة النهائية:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} f (t) } = (- 1) ^ {n} { frac { mathrm {d} ^ {n} F} { mathrm {d} s ^ {n}}}}$
   • على الرغم من أن إعادة ترتيب مشغلي التكامل والتفاضل يتطلب بعض التبرير الإضافي ، فإننا لن نقدمها هنا ، ولكن سنلاحظ فقط أن هذه العملية صحيحة إذا كانت النتيجة النهائية منطقية. يمكنك أيضًا مراعاة حقيقة أن المتغيرات ${ displaystyle s}$ و ${ displaystyle t}$ لا تعتمد على بعضها البعض.
   • باستخدام هذه القاعدة ، من السهل العثور على تحويل وظائف مثل ${ displaystyle t ^ {2} cos 2t}$، دون إعادة التكامل بالأجزاء:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {2} cos 2t } = { frac { mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} s ^ {2}}} { frac {s} {s ^ {2} +4}} = { frac {2s ^ {3} -24s} {(s ^ {2} +4) ^ {3}}}}$
3. 3 أوجد تحويل لابلاس للدالة F(أر){ displaystyle f (at)}. يمكن القيام بذلك بسهولة عن طريق استبدال المتغير بـ u باستخدام تعريف التحويل:
   • ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} {f (at) } & = int _ {0} ^ { infty} f (at) e ^ {- st} mathrm { d} t، u = at & = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ { infty} f (u) e ^ {- su / a} mathrm {d } u & = { frac {1} {a}} F left ({ frac {s} {a}} right) end {align}}}$
   • أعلاه ، وجدنا تحويل لابلاس للوظائف ${ displaystyle sin at}$ و ${ displaystyle cos at}$ مباشرة من الدالة الأسية. باستخدام هذه الخاصية ، يمكنك الحصول على نفس النتيجة إذا وجدت الأجزاء الحقيقية والخيالية ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {it} } = { frac {1} {s-i}}}$.
4. 4 أوجد تحويل لابلاس للمشتق F′(ر){ displaystyle f ^ { prime} (t)}. على عكس الأمثلة السابقة ، في هذه الحالة يجب أن دمج قطعة قطعة:
   • ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} {f ^ { prime} (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f ^ { prime} (t ) e ^ {- st} mathrm {d} t، u = e ^ {- st}، mathrm {d} v = f ^ { prime} (t) mathrm {d} t & = f (t) e ^ {- st} Big _ {0} ^ { infty} + s int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d } t & = sF (s) -f (0) end {align}}}$
   • نظرًا لأن المشتق الثاني يحدث في العديد من المشكلات المادية ، فإننا نجد تحويل لابلاس له أيضًا:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ { prime} (t) } = s ^ {2} F (s) -sf (0) -f ^ { prime} (0) }$
   • في الحالة العامة ، يتم تعريف تحويل لابلاس لمشتق الرتبة n على النحو التالي (يسمح ذلك بحل المعادلات التفاضلية باستخدام تحويل لابلاس):
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ {(n)} (t) } = s ^ {n} F (s) - sum _ {k = 0} ^ {n-1} s ^ {nk-1} و ^ {(ك)} (0)}$

جزء 3 من 3: إيجاد تحويل لابلاس عن طريق التوسع المتسلسل

1. 1 دعونا نجد تحويل لابلاس لوظيفة دورية. الوظيفة الدورية تفي بالشرط ${ displaystyle f (t) = f (t + nT)،}$ أين ${ displaystyle T}$ هي فترة الوظيفة ، و ${ displaystyle n}$ هو عدد صحيح موجب. تستخدم الوظائف الدورية على نطاق واسع في العديد من التطبيقات ، بما في ذلك معالجة الإشارات والهندسة الكهربائية. باستخدام التحويلات البسيطة ، نحصل على النتيجة التالية:
   • ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} {f (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm { د} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {nT} ^ {(n + 1) T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {0} ^ {T} f (t + nT) e ^ {- s (t + nT)} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} e ^ {- snT} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = { frac {1} {1-e ^ {- sT}}} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t end { محاذاة}}}$
   • كما ترى ، في حالة الوظيفة الدورية ، يكفي إجراء تحويل لابلاس لفترة واحدة.
2. 2 قم بإجراء تحويل لابلاس للوغاريتم الطبيعي. في هذه الحالة ، لا يمكن التعبير عن التكامل في شكل وظائف أولية. يتيح لك استخدام دالة جاما والتوسع المتسلسل الخاص بها تقدير اللوغاريتم الطبيعي ودرجاته. حضور ثابت أويلر-ماشيروني ${ displaystyle gamma}$ يوضح أنه لتقدير هذا التكامل ، من الضروري استخدام توسيع متسلسل.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} { ln t } = - { frac { gamma + ln s} {s}}}$
3. 3 ضع في اعتبارك تحويل لابلاس لوظيفة الصدق غير الطبيعية. وظيفة ${ displaystyle operatorname {sinc} (t) = { frac { sin t} {t}}}$ تستخدم على نطاق واسع لمعالجة الإشارات ، في المعادلات التفاضلية تعادل دالة بيسيل الكروية من النوع الأول والترتيب الصفري ${ displaystyle j_ {0} (x).}$ لا يمكن أيضًا حساب تحويل لابلاس لهذه الوظيفة بالطرق القياسية. في هذه الحالة ، يتم تنفيذ تحويل الأعضاء الفرديين في السلسلة ، وهي وظائف طاقة ، لذلك تتلاقى تحولاتهم بالضرورة في فترة زمنية معينة.
   • أولاً ، نكتب توسيع الوظيفة في سلسلة تايلور:
     • ${ displaystyle { frac { sin t} {t}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} t ^ {2n}} {(2n +1)!}}}$
   • الآن نستخدم تحويل لابلاس المعروف بالفعل لوظيفة الطاقة. تم إلغاء العوامل ، ونتيجة لذلك نحصل على توسعة تايلور في قوس ظل ، أي سلسلة بديلة تشبه سلسلة تايلور للجيب ، ولكن بدون مضروب:
     • ${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} left {{ frac { sin t} {t}} right } & = sum _ {n = 0} ^ { infty } { frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {(2n + 1)!}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = tan ^ {- 1} { frac {1} {s}} end {align}}}$