المحتوى

• خطوات
• جزء 1 من 2: الأساسيات
• جزء 2 من 2: تحويل المصفوفة الموسع لحل SLAEs
• نصائح

نظام المعادلات هو مجموعة من معادلتين أو أكثر لها مجموعة مشتركة من المجهول ، وبالتالي حل مشترك. الرسم البياني لنظام المعادلات الخطية عبارة عن خطين مستقيمين ، وحل النظام هو نقطة تقاطع هذه الخطوط المستقيمة. لحل مثل هذه الأنظمة من المعادلات الخطية ، من المفيد والمريح استخدام المصفوفات.

خطوات

جزء 1 من 2: الأساسيات

1. 1 المصطلح. تتكون أنظمة المعادلات الخطية من مكونات مختلفة. يُشار إلى المتغير بحرف أبجدي (عادةً x أو y) ويعني رقمًا لا تعرفه بعد وتحتاج إلى العثور عليه. الثابت هو رقم معين لا يغير قيمته.المعامل هو الرقم الموجود أمام المتغير ، أي الرقم الذي يُضرب به المتغير.
   • على سبيل المثال ، بالنسبة للمعادلة الخطية ، 2x + 4y = 8 ، x و y متغيرات ، 8 ثابت ، والأرقام 2 و 4 معاملات.
2. 2 شكل لنظام المعادلات الخطية. يمكن كتابة نظام المعادلات الجبرية الخطية (SLAE) بمتغيرين على النحو التالي: ax + by = p ، cx + dy = q. يمكن أن تكون أي ثوابت (p ، q) صفراً ، لكن يجب أن تحتوي كل معادلة على متغير واحد على الأقل (x ، y).
3. 3 تعبيرات المصفوفة. يمكن كتابة أي SLAE في شكل مصفوفة ، ثم باستخدام الخصائص الجبرية للمصفوفات ، يمكن حلها. عند كتابة نظام معادلات في شكل مصفوفة ، يمثل A معاملات المصفوفة ، ويمثل C مصفوفات ثابتة ، ويشير X إلى مصفوفة غير معروفة.
   • على سبيل المثال ، يمكن إعادة كتابة SLAE أعلاه في شكل المصفوفة التالية: A x X = C.
4. 4 مصفوفة موسعة. يتم الحصول على المصفوفة الممتدة عن طريق نقل مصفوفة المصطلحات الحرة (الثوابت) إلى الجانب الأيسر. إذا كان لديك مصفوفتان ، A و C ، فإن المصفوفة الموسعة ستبدو كما يلي:
   • على سبيل المثال ، لنظام المعادلات الخطية التالي:
     2 س + 4 ص = 8
     س + ص = 2
     ستكون المصفوفة الموسعة 2x3 وستبدو كما يلي:

جزء 2 من 2: تحويل المصفوفة الموسع لحل SLAEs

1. 1 العمليات الأولية. يمكنك إجراء عمليات معينة على مصفوفة ، وبالتالي الحصول على مصفوفة مكافئة للمصفوفة الأصلية. تسمى هذه العمليات الابتدائية. على سبيل المثال ، لحل مصفوفة 2 × 3 ، تحتاج إلى إجراء عمليات على الصفوف لإحضار المصفوفة إلى شكل مثلث. يمكن أن تكون هذه العمليات:
   • التقليب بين سطرين.
   • ضرب سلسلة في عدد غير صفري.
   • ضرب سلسلة وإضافتها إلى سلسلة أخرى.
2. 2 ضرب السطر الثاني بعدد غير صفري. إذا كنت تريد صفرًا في السطر الثاني ، فيمكنك ضرب السطر لجعل ذلك ممكنًا.
   • على سبيل المثال ، إذا كان لديك مصفوفة مثل هذه:
     
     
     يمكنك الاحتفاظ بالسطر الأول واستخدامه للحصول على صفر في السطر الثاني. للقيام بذلك ، يجب عليك أولاً ضرب السطر الثاني في 2:
3. 3 اضرب مرة أخرى. للحصول على صفر للصف الأول ، قد تحتاج إلى الضرب مرة أخرى باستخدام معالجات مماثلة.
   • في المثال أعلاه ، تحتاج إلى ضرب السطر الثاني في -1:
     
     
     بعد الضرب ، ستبدو المصفوفة كما يلي:
4. 4 أضف السطر الأول إلى السطر الثاني. أضف الصفوف للحصول على صفر بدلاً من العمود الأول والصف الثاني.
   • في مثالنا ، أضف كلا السطرين للحصول على ما يلي:
5. 5 اكتب نظامًا جديدًا للمعادلات الخطية لمصفوفة مثلثة. بمجرد حصولك على المصفوفة المثلثة ، يمكنك العودة إلى SLAE. يتوافق العمود الأول من المصفوفة مع المتغير المجهول x ، والثاني يتوافق مع المتغير المجهول y. يتوافق العمود الثالث مع تقاطع المعادلة.
   • على سبيل المثال ، النظام الجديد للمعادلات الخطية سيأخذ الشكل:
6. 6 حل معادلة أحد المتغيرات. في SLAE الجديد ، حدد المتغير الأسهل للعثور على المعادلة وحلها.
   • في مثالنا ، يكون الحل أكثر ملاءمة من النهاية ، أي من المعادلة الأخيرة إلى الأولى ، والانتقال من أسفل إلى أعلى. من المعادلة الثانية ، يمكننا بسهولة إيجاد حل لـ y ، لأننا تخلصنا من x ، لذا y = 2.
7. 7 أوجد المجهول الثاني بطريقة الاستبدال. بمجرد العثور على أحد المتغيرات ، يمكنك التعويض به في المعادلة الثانية لإيجاد المتغير الثاني.
   • في مثالنا ، استبدل y بـ 2 في المعادلة الأولى لإيجاد x المجهول:

نصائح

• يشار إلى عناصر المصفوفة بشكل شائع باسم الحجميات.
• لحل مصفوفة 2 × 3 ، يجب إجراء عمليات الصف الأولية. لا يمكنك إجراء هذه العمليات على الأعمدة.