المحتوى

• لتخطو
• جزء 1 من 3: أساسيات التحليل
• جزء 2 من 3: فهم المشتقات
• جزء 3 من 3: فهم التكاملات
• نصائح

التحليل (يسمى أيضًا حساب التفاضل والتكامل) هو فرع من فروع الرياضيات يركز على الحدود والوظائف والمشتقات والتكاملات والمتسلسلات اللانهائية. يغطي هذا الموضوع قدرًا كبيرًا من الرياضيات ، ويشكل أساسًا للعديد من الصيغ والمعادلات المستخدمة في الفيزياء والميكانيكا. من المحتمل أن تكون قد أمضيت عدة سنوات في الرياضيات في المدرسة الثانوية لفهم التحليل بشكل صحيح ، ولكن هذه المقالة ستجعلك تبدأ في تعلم التعرف على المفاهيم الأساسية بالإضافة إلى فهم أفضل للنظرية.

لتخطو

جزء 1 من 3: أساسيات التحليل

1. التحليل هو دراسة كيف تتغير الأشياء. التحليل هو فرع من فروع الرياضيات يفحص الأرقام والرسوم البيانية ، وعادة ما يتم أخذها من بيانات العالم الحقيقي ، ويشرح كيف تتغير. في حين أن هذا قد لا يبدو مفيدًا جدًا في البداية ، فإن التحليل هو أحد أكثر فروع الرياضيات شيوعًا. تخيل امتلاك الأدوات التي تخبرك بمدى سرعة نمو عملك في أي وقت ، أو كيفية رسم مسار سفينة الفضاء ، ومدى سرعة استهلاك وقودها. يعد التحليل أداة مهمة في الهندسة والاقتصاد والإحصاء والكيمياء والفيزياء ، وقد ساهم في العديد من الاختراعات والاكتشافات.
2. الدالات هي علاقات بين رقمين وتستخدم لتعيين العلاقات. إنها قواعد للعلاقة بين الأرقام ، ويستخدمها علماء الرياضيات لعمل الرسوم البيانية. في الوظيفة ، كل مدخل له نتيجة واحدة بالضبط. على سبيل المثال: في ${ displaystyle y = 2x + 4،}$فكر في مفهوم اللانهاية. اللانهاية هي التكرار المستمر للعملية. إنه ليس مكانًا محددًا (لا يمكنك الذهاب إلى اللانهاية) ، ولكنه سلوك رقم أو معادلة ، إذا تم القيام به إلى الأبد. هذا مهم لدراسة التغيير: قد ترغب في معرفة مدى سرعة تحرك سيارتك في أي وقت ، ولكن هل هذه السرعة التي تتحرك بها سيارتك خلال الثانية الحالية؟ ميلي ثانية؟ نانوثانية؟ يمكنك العثور على فترات زمنية أصغر بلا حدود لتكون أكثر دقة ، وذلك عندما يأتي التحليل.
3. افهم مفهوم الحدود. يخبرك الحد بما يحدث عندما يقترب شيء ما من اللانهاية. خذ الرقم 1 وقسمه على 2. استمر في القسمة على 2 مرات ومرات. 1 يصبح 1/2 ثم 1/4 ، 1/8 ، 1/16 ، 1/32 ، إلخ. في كل مرة يصبح الرقم أصغر وأصغر ، "أقرب إلى" الصفر. لكن أين تتوقف؟ كم مرة يجب أن تقسم 1 على 2 لتحصل على صفر؟ بدلاً من الإجابة على هذا السؤال ، في التحليل تقوم بتعيين واحد حد في هذه الحالة ، الحد هو.
   • تعتبر الحدود أسهل في تصورها في الرسم البياني - على سبيل المثال ، هل هناك نقاط يلمسها الرسم البياني تقريبًا ، ولكن ليس تمامًا أبدًا؟
   • يمكن أن تكون الحدود عددًا أو لا نهائيًا أو حتى غير موجودة. على سبيل المثال ، مع تسلسل الجمع 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... ويستمر هذا إلى أجل غير مسمى ، يصبح الرقم النهائي كبيرًا بشكل لا نهائي. ثم يصبح الحد لانهائي.
4. راجع مفاهيم الرياضيات الأساسية في الجبر وعلم المثلثات وأساسيات الرياضيات. يعتمد التحليل على الكثير من الرياضيات التي تعلمتها من قبل. إن كونك على اطلاع جيد بجميع الموضوعات يجعل من السهل تعلم وفهم التحليل. بعض الموضوعات التي يجب صقلها هي:
   • الجبر. أنت بحاجة إلى فهم العمليات المختلفة وأن تكون قادرًا على حل المعادلات وأنظمة المعادلات ذات المتغيرات المتعددة. فهم أساسيات المجموعات. تدرب على عمل الرسوم البيانية.
   • الهندسة. الهندسة هي دراسة الأشكال. يجب أن يكون لديك معرفة أساسية بالمثلثات والمستطيلات والدوائر وكيفية حساب أشياء مثل المحيط والمساحة. افهم الزوايا والخطوط والإحداثيات
   • علم المثلثات. علم المثلثات هو فرع الرياضيات الذي يتعامل مع خصائص الدوائر والمثلثات القائمة. تعرف على كيفية استخدام الهويات المثلثية والرسوم البيانية والوظائف والدوال المثلثية العكسية.
5. شراء آلة حاسبة بيانية. ليس من السهل فهم التحليل دون رؤية ما تفعله. تجعل حاسبات الرسوم البيانية الوظائف مرئية بحيث يمكنك فهم المعادلات التي تتعامل معها بشكل أفضل. غالبًا ما يتم عرض الحدود أيضًا على الشاشة ، ويتم احتساب المشتقات والوظائف تلقائيًا.
   • تقدم العديد من الهواتف الذكية والأجهزة اللوحية اليوم تطبيقات رسوم بيانية غير مكلفة ولكنها فعالة إذا كنت لا تريد أو لا تستطيع شراء آلة حاسبة للرسوم البيانية.

جزء 2 من 3: فهم المشتقات

1. يستخدم التحليل لدراسة "التغيير في لحظة معينة". معرفة سبب تغير شيء ما في لحظة معينة هو جوهر التحليل. على سبيل المثال ، لا يمنحك التحليل سرعة السيارة فحسب ، بل يمنحك أيضًا مقدار تغير هذه السرعة في أي وقت. هذا أحد أبسط استخدامات التحليل ، ولكنه مهم جدًا. تخيل مدى أهمية هذه المعلومات في تحديد السرعة اللازمة لنقل مركبة فضائية إلى القمر!
   • تحديد التغيير في نقطة زمنية معينة له يميز. التمايز هو أول فرع من فرعي التحليل الرئيسيين.
2. استخدم المشتقات لفهم كيف تتغير الأشياء في وقت معين. "المشتق" هو ​​كلمة لطيفة لشيء غالبًا ما يجعل الطلاب متوترين. ومع ذلك ، فإن المفهوم نفسه ليس من الصعب فهمه - إنه يعني فقط "مدى سرعة تغير شيء ما". المشتقات التي ستواجهها كثيرًا في الحياة اليومية لها علاقة بالسرعة. ومع ذلك ، فأنت عادة لا تسميها "مشتق السرعة" ، ولكن ببساطة "التسارع".
   • التسارع مشتق - يخبرك بمدى سرعة شيء ما في التسارع أو التباطؤ ، أو كيف تتغير سرعته.
3. اعلم أن معدل التغيير يساوي المنحدر بين نقطتين. هذا هو أحد أهم اكتشافات التحليل. معدل التغيير بين نقطتين يساوي ميل الخط الفاصل بين هاتين النقطتين. فكر فقط في خط بسيط ، مثل خط المعادلة ${ displaystyle y = 3x.}$اعلم أنه يمكنك تحديد ميل الخطوط المنحنية. من السهل نسبيًا تحديد ميل الخط المستقيم: كم يتغير ${ displaystyle y}$إذا كنت تريد حساب التغيير بشكل أكثر دقة ، فتأكد من أن النقاط أقرب إلى بعضها البعض. كلما اقتربت من اختيار النقطتين ، زادت دقة إجابتك. لنفترض أنك تريد معرفة مقدار تسارع سيارتك عند الضغط على دواسة الوقود. أنت لا تريد قياس التغير في السرعة بين منزلك والسوبر ماركت ، ولكن التغيير في السرعة منذ اللحظة التي تضغط فيها على دواسة الوقود. كلما اقتربت قراءتك من ذلك الجزء من الثانية ، زادت دقة حساب التغيير.
   • على سبيل المثال ، يبحث العلماء في مدى سرعة انقراض بعض الأنواع من أجل إنقاذها. ومع ذلك ، تموت الحيوانات في الشتاء أكثر من الصيف ، لذلك ليس من المفيد دراسة معدل التغيير على مدار العام - من الأفضل تحديد معدل التغيير خلال فترة زمنية أصغر ، مثل من 1 يوليو إلى 1 أغسطس.
4. استخدم أسطرًا قصيرة بلا حدود لتحديد "معدل التغيير اللحظي" أو إيجاد المشتق. هذا هو المكان الذي غالبًا ما يكون فيه التحليل مربكًا بعض الشيء ، ولكن هذا في الواقع نتيجة لحقيقتين بسيطتين. بادئ ذي بدء ، أنت تعلم أن ميل الخط يساوي سرعة تغير هذا الخط. ثانيًا ، تعلم أنه كلما اقتربت نقاط الخط من بعضها البعض ، زادت دقة القراءة. ولكن كيف يمكنك إيجاد معدل التغيير عند نقطة معينة إذا كان الميل هو العلاقة بين نقطتين؟ الاجابة: أنت تختار نقطتين قريبتين بشكل لا نهائي من بعضهما البعض.
   • ضع في اعتبارك المثال حيث واصلت قسمة 1 على 2 ، وبالتالي الحصول على 1/2 ، 1/4 ، 1/8 ، إلخ. لذا في النهاية اقتربت من الصفر ، والإجابة هي "صفر تقريبًا". النقاط قريبة جدًا من بعضها البعض لدرجة أنها "متساوية تقريبًا مع بعضها البعض". هذه هي طبيعة المشتقات.
5. تعلم كيفية تحديد المشتقات المختلفة. هناك الكثير من التقنيات المختلفة لإيجاد مشتق اعتمادًا على المعادلة ، لكن معظمها منطقي إذا كنت قد حفظت أساسيات المشتقات أعلاه. جميع المشتقات هي طريقة لإيجاد ميل خط متناهي الصغر. الآن بعد أن عرفت المزيد عن نظرية المشتقات ، فإن الكثير من العمل يكمن في إيجاد الإجابات.
6. ابحث عن المعادلات المشتقة للتنبؤ بمعدل التغيير في أي وقت. من المفيد استخدام المشتقات لتحديد معدل التغيير في أي وقت معين ، لكن جمال التحليل هو أنه يمكنك إنشاء نموذج جديد لأي دالة. مشتق من ${ displaystyle y = x ^ {2}،}$إذا وجدت هذا صعبًا في الفهم ، فحاول أن تتذكر أمثلة من الحياة الواقعية للمشتقات. أبسط مثال يعتمد على السرعة ، والتي تشمل الكثير من المشتقات المختلفة التي نواجهها كل يوم. لا تنسى: المشتق هو مقياس لمدى سرعة تغير شيء ما. فكر في تجربة بسيطة. تقوم بتدحرج كرة على طاولة وتقيس مدى تحركها ومدى سرعتها في كل مرة. تخيل الآن أن قطعة الرخام المتدحرجة تتبع خطًا على الرسم البياني - فأنت تستخدم المشتقات لقياس التغييرات اللحظية في أي وقت على هذا الخط.
   • ما مدى سرعة حركة الرخام؟ بأي سرعة يتغير موضع (أو مشتق) الرخام المتحرك؟ نسمي هذا المشتق "السرعة".
   • دحرج قطعة الرخام على طول منحدر ولاحظ كيف تتغير السرعة. ما هو معدل التغير أو الاشتقاق في سرعة الكرة؟ هذا المشتق هو ما نسميه "التسارع".
   • دحرج الرخام على طول مسار متموج ، مثل الأفعوانية. إلى أي مدى تكتسب قطعة الرخام السرعة عندما تتدحرج ، وإلى أي مدى تتباطأ الكرة صعودًا؟ ما السرعة التي تتحرك بها قطعة الرخام بالضبط عندما تكون في منتصف الطريق لأعلى التل الأول؟ هذا هو معدل التغير اللحظي ، أو المشتق ، لذلك الرخام عند تلك النقطة المحددة.

جزء 3 من 3: فهم التكاملات

1. اعلم أنه يمكنك استخدام التحليل للعثور على مناطق وأحجام معقدة. باستخدام التحليل ، يمكنك قياس الأشكال المعقدة التي يصعب قياسها بطريقة أخرى. ضع في اعتبارك ، على سبيل المثال ، المشكلة التي تريد معرفة مقدار الماء الذي تحتويه بحيرة طويلة غير منتظمة الشكل - من المستحيل قياس كل لتر من الماء على حدة أو استخدام مسطرة لقياس شكل البحيرة. من خلال التحليل ، يمكنك دراسة كيفية تغير حواف البحيرة ثم استخدام هذه المعلومات لمعرفة كمية المياه التي تحتوي عليها.
   • عمل نماذج هندسية ودراسة الأحجام دمج. حساب التفاضل والتكامل هو الفرع الثاني المهم للتحليل.
2. اعلم أن التكامل هو المنطقة الواقعة أسفل الرسم البياني. يستخدم التكامل لقياس المساحة الموجودة أسفل الخط ، مما يسمح لك بتحديد مساحة الأشكال الغريبة أو غير المنتظمة. خذ المعادلة ${ displaystyle y = 4-x ^ {2}،}$اعلم أنه يجب عليك تحديد منطقة للتكامل. لا يمكنك ببساطة دمج دالة كاملة. على سبيل المثال، ${ displaystyle y = x}$فكر في كيفية حساب مساحة المستطيل. افترض أن لديك خطًا مسطحًا أعلى الرسم البياني ، مثل ${ displaystyle y = 4.}$اعلم أنه في حساب التفاضل والتكامل يُجمع الكثير من المستطيلات الصغيرة معًا لإيجاد مساحة المنطقة. عندما تقوم بتوسيع منحنى بشكل كبير ، يبدو أنه خط مستقيم. ترى هذا كل يوم - لا يمكنك إدراك انحناء الأرض لأنك قريب جدًا من سطح الأرض. يُنشئ التكامل عددًا لا حصر له من المستطيلات الصغيرة أسفل منحنى صغيرة جدًا بحيث تكون مسطحة بشكل أساسي ، مما يسمح لك بحسابها. تشكل كل هذه المستطيلات المضافة معًا مساحة المنطقة الواقعة أسفل المنحنى.
   • لنفترض أنك أضفت الكثير من الأجزاء الصغيرة أسفل الرسم البياني ، وهذا هو عرض كل جزء تقريبيا هو صفر.
3. تعرف على كيفية قراءة وكتابة التكاملات بشكل صحيح. تتكون التكاملات من 4 أجزاء. يبدو التكامل النموذجي كما يلي:
   
   ${ displaystyle int f (x) mathrm {d} x}$ تعلم المزيد عن إيجاد التكاملات. يأتي التكامل بأشكال عديدة ، وعليك أن تتعلم الكثير من الصيغ المختلفة لدمج كل وظيفة. ومع ذلك ، فهم جميعًا يتبعون المبادئ الموضحة أعلاه: التكامل هو مجموع عدد لا حصر له من الأشياء.
   • التكامل بالتعويض.
   • احسب التكاملات غير المحددة.
   • التكامل عن طريق المشاركة.
4. اعلم أن التكامل هو عكس التفاضل والعكس صحيح. هذه قاعدة أساسية في التحليل مهمة جدًا لدرجة أنه تم إعطاؤها اسمها الخاص: النظرية الأساسية للحساب المتكامل.نظرًا لأن التكامل والتمايز مرتبطان ارتباطًا وثيقًا ، يمكن استخدام مزيج من الاثنين لتحديد معدل التغيير ، والتسارع ، والسرعة ، والموقع ، والحركة ، وما إلى ذلك ، بغض النظر عن المعلومات التي لديك.
   • على سبيل المثال ، تذكر أن مشتق السرعة هو العجلة ، لذا يمكنك استخدام السرعة لإيجاد العجلة. ولكن إذا كنت تعرف فقط تسارع شيء ما (مثل سقوط الأجسام بسبب الجاذبية) ، فيمكنك حينئذٍ التكامل لاستعادة السرعة!
5. اعلم أنه من خلال التكامل يمكنك أيضًا التحكم في حجم الكائنات ثلاثية الأبعاد. يعد تدوير الشكل المسطح إحدى الطرق لإنشاء مواد صلبة ثلاثية الأبعاد. تخيل عملة معدنية تدور على الطاولة - لاحظ كيف يبدو أن العملة تأخذ شكل كرة أثناء دورانها. يتيح لك هذا المفهوم تحديد الحجم وفقًا لعملية تعرف باسم "الحجم بالتناوب".
   • يتيح لك هذا تحديد حجم أي مادة صلبة ، طالما أن لديك وظيفة تمثلها. على سبيل المثال ، يمكنك إنشاء وظيفة تتعقب قاع بحيرة ثم استخدامها لتحديد حجم البحيرة أو مقدار المياه التي تحتوي عليها.

نصائح

• الممارسة تجعلها مثالية ، وكذلك التدريبات في كتابك المدرسي - حتى تلك التي لم يقدمها معلمك - وتحقق من إجاباتك لمساعدتك على فهم المفاهيم بشكل أفضل.
• إذا لم تتمكن من إيجاد حل ، اسأل معلمك.