المحتوى

• لتخطو

المعادلة المثلثية هي معادلة ذات دالة أو أكثر من الدوال المثلثية للمنحنى المثلثي المتغير x. حل من أجل x يعني إيجاد قيم المنحنيات المثلثية التي تؤدي وظائفها المثلثية إلى أن تكون المعادلة المثلثية صحيحة.

• يتم التعبير عن إجابات أو قيم منحنيات الحل بالدرجات أو الراديان. أمثلة:

س = بي / 3 ؛ س = 5Pi / 6 ؛ س = 3Pi / 2 ؛ س = 45 درجة ؛ س = 37.12 درجة ؛ س = 178.37 درجة

• ملاحظة: في دائرة الوحدة ، تكون الدوال المثلثية لأي منحنى مساوية للدوال المثلثية للزاوية المقابلة. تحدد دائرة الوحدة جميع الدوال المثلثية للمنحنى المتغير x. يتم استخدامه أيضًا كدليل في حل المعادلات المثلثية الأساسية وعدم المساواة.
• أمثلة على المعادلات المثلثية:
  • الخطيئة س + الخطيئة 2 س = 1/2 ؛ تان س + سرير أطفال س = 1.732 ؛
  • cos 3x + sin 2x = cos x ؛ 2sin 2x + cos x = 1.

1. دائرة الوحدة.
   • هذه دائرة نصف قطرها = 1 ، حيث O هو الأصل. تحدد دائرة الوحدة 4 وظائف مثلثية رئيسية للمنحنى المتغير x ، والتي تدور حوله عكس اتجاه عقارب الساعة.
   • عندما يختلف المنحنى ذو القيمة x على دائرة الوحدة ، عندئذٍ:
   • يحدد المحور الأفقي OAx الدالة المثلثية f (x) = cos x.
   • يحدد المحور العمودي OBy الدالة المثلثية f (x) = sin x.
   • يحدد المحور الرأسي AT الدالة المثلثية f (x) = tan x.
   • يحدد المحور الأفقي BU الدالة المثلثية f (x) = cot x.

• تُستخدم دائرة الوحدة أيضًا لحل المعادلات المثلثية الأساسية والمتباينات المثلثية القياسية من خلال النظر في المواضع المختلفة للمنحنى x على الدائرة.

لتخطو

1. افهم طريقة الحل.
   • لحل المعادلة المثلثية ، يمكنك تحويلها إلى واحدة أو أكثر من المعادلات المثلثية الأساسية. يؤدي حل المعادلات المثلثية في النهاية إلى حل 4 معادلات مثلثية أساسية.
2. تعرف على كيفية حل المعادلات المثلثية الأساسية.
   • هناك 4 معادلات مثلثية أساسية:
   • الخطيئة س = أ ؛ كوس س = أ
   • تان س = أ ؛ سرير x = أ
   • يمكنك حل المعادلات المثلثية الأساسية من خلال دراسة المواضع المختلفة للمنحنى x على الدائرة المثلثية وباستخدام جدول التحويل المثلثي (أو الآلة الحاسبة). لفهم كيفية حل هذه المعادلات المثلثية الأساسية وما شابهها ، اقرأ الكتاب التالي: "علم المثلثات: حل المعادلات المثلثية وعدم المساواة" (Amazon E-book 2010).
   • مثال 1. حل من أجل sin x = 0.866. يعطي جدول التحويل (أو الآلة الحاسبة) الإجابة: x = Pi / 3. تعطي الدائرة المثلثية منحنى آخر (2Pi / 3) بنفس قيمة الجيب (0.866). توفر الدائرة المثلثية أيضًا عددًا لا نهائيًا من الإجابات يسمى الإجابات الموسعة.
   • x1 = Pi / 3 + 2k.Pi و x2 = 2Pi / 3. (الردود خلال فترة (0، 2Pi))
   • x1 = Pi / 3 + 2k Pi و x2 = 2Pi / 3 + 2k Pi. (إجابات مفصلة).
   • مثال 2. حل: cos x = -1/2. تعطي الآلات الحاسبة x = 2 Pi / 3. تعطي الدائرة المثلثية أيضًا x = -2Pi / 3.
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k.Pi و x2 = - 2Pi / 3. (أجوبة الفترة (0، 2Pi))
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k Pi ، و x2 = -2Pi / 3 + 2k. (إجابات موسعة)
   • مثال 3. حل: tan (x - Pi / 4) = 0.
   • س = بي / 4 ؛ (إجابه)
   • س = بي / 4 + ك بي ؛ (إجابة موسعة)
   • مثال 4. حل: cot 2x = 1.732. تعطي الآلات الحاسبة والدائرة المثلثية:
   • س = بي / 12 ؛ (إجابه)
   • س = بي / 12 + ك بي ؛ (إجابات موسعة)
3. تعلم التحويلات المستخدمة في حل المعادلات المثلثية.
   • لتحويل معادلة مثلثية معينة إلى معادلات مثلثية قياسية ، استخدم التحويلات الجبرية القياسية (عوامل ، عامل مشترك ، كثيرات الحدود ...) ، تعريفات وخصائص الدوال المثلثية والهويات المثلثية. يوجد حوالي 31 ، 14 منها متطابقات مثلثية ، من 19 إلى 31 ، تسمى أيضًا هويات التحويل ، لأنها تستخدم في تحويل المعادلات المثلثية. انظر الكتاب أعلاه.
   • مثال 5: المعادلة المثلثية: يمكن تحويل sin x + sin 2x + sin 3x = 0 إلى منتج من المعادلات المثلثية الأساسية باستخدام المطابقات المثلثية: 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. المعادلات المثلثية الأساسية لحلها هي: cos x = 0؛ الخطيئة (3x / 2) = 0 ؛ و cos (x / 2) = 0.
4. أوجد المنحنيات التي تُعرف بها الدوال المثلثية.
   • قبل أن تتعلم كيفية حل المعادلات المثلثية ، تحتاج إلى معرفة كيفية العثور بسرعة على المنحنيات التي تُعرف الدوال المثلثية بها. يمكن تحديد قيم تحويل المنحنيات (أو الزوايا) باستخدام الجداول المثلثية أو الآلة الحاسبة.
   • مثال: حل من أجل cos x = 0.732. تعطي الآلة الحاسبة الحل س = 42.95 درجة. دائرة الوحدة تعطي منحنيات أخرى بنفس القيمة لجيب التمام.
5. ارسم قوس الإجابة على دائرة الوحدة.
   • يمكنك إنشاء رسم بياني لتوضيح الحل على دائرة الوحدة. نقاط نهاية هذه المنحنيات هي مضلعات منتظمة على الدائرة المثلثية. بعض الأمثلة:
   • نقاط نهاية المنحنى x = Pi / 3 + k. Pi / 2 مربع على دائرة الوحدة.
   • يتم تمثيل منحنيات x = Pi / 4 + k.Pi / 3 بإحداثيات شكل سداسي على دائرة الوحدة.
6. تعلم كيفية حل المعادلات المثلثية.
   • إذا كانت المعادلة المثلثية تحتوي على دالة مثلثية واحدة فقط ، فقم بحلها كمعادلة مثلثية قياسية. إذا كانت المعادلة المعطاة تحتوي على دالتين مثلثيتين أو أكثر ، فهناك طريقتان للحل ، اعتمادًا على خيارات تحويل المعادلة.
     • طريقة 1.
   • حول المعادلة المثلثية إلى منتج على الشكل: f (x) .g (x) = 0 أو f (x) .g (x) .h (x) = 0 ، حيث f (x) ، g (x) و ح (س) هي المعادلات المثلثية الأساسية.
   • مثال 6. حل: 2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2Pi)
   • حل. استبدل sin 2x في المعادلة باستخدام الهوية: sin 2x = 2 * sin x * cos x.
   • cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. ثم حل الدالتين المثلثيتين القياسيتين: cos x = 0 و (sin x + 1) = 0.
   • مثال 7. حل: cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2Pi)
   • الحل: حوّل هذا إلى حاصل ضرب باستخدام المتطابقات المثلثية: cos 2x (2cos x + 1) = 0. الآن حل المعادلتين المثلثيتين الأساسيتين: cos 2x = 0 و (2cos x + 1) = 0.
   • مثال 8. حل: sin x - sin 3x = cos 2x. (0 × 2 بي)
   • الحل: حوّل هذا إلى منتج باستخدام المطابقات المثلثية: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. الآن حل المعادلتين المثلثيتين الأساسيتين: cos 2x = 0 و (2sin x + 1) = 0.
     • باء - النهج 2.
   • يحول المعادلة المثلثية إلى معادلة مثلثية باستخدام دالة مثلث فريدة واحدة فقط كمتغير. هناك بعض النصائح حول كيفية اختيار متغير مناسب. المتغيرات الشائعة هي: sin x = t؛ كوس س = تي ؛ cos 2x = t و tan x = t و tan (x / 2) = t.
   • مثال 9. حل: 3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2Pi).
   • حل. في المعادلة ، استبدل (cos ^ 2x) بـ (1 - sin ^ 2x) ، وقم بتبسيط المعادلة:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. الآن استخدم sin x = t. تصبح المعادلة: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. هذه معادلة تربيعية لها جذران: t1 = -1 و t2 = 9/5. يمكننا رفض t2 الثاني ، لأن> 1. الآن حل من أجل: t = sin = -1 -> x = 3Pi / 2.
   • مثال 10. حل: tan x + 2 tan ^ 2 x = cot x + 2.
   • حل. استخدم tan x = t. حول المعادلة المعطاة إلى معادلة مع t كمتغير: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. حل من أجل t من هذا المنتج ، ثم حل المعادلة المثلثية القياسية tan x = t من أجل x.
7. حل المعادلات المثلثية الخاصة.
   • هناك عدد قليل من المعادلات المثلثية الخاصة التي تتطلب بعض التحويلات المحددة. أمثلة:
   • أ * الخطيئة س + ب * كوس س = ج ؛ أ (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c ؛
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. تعلم الخصائص الدورية للدوال المثلثية.
   • جميع الدوال المثلثية دورية ، مما يعني أنها تعود إلى نفس القيمة بعد الدوران على مدى فترة. أمثلة:
     • الدالة f (x) = sin x لها 2Pi كفترة.
     • تحتوي الدالة f (x) = tan x على Pi كنقطة.
     • الدالة f (x) = sin 2x لها Pi كنقطة.
     • الدالة f (x) = cos (x / 2) لها 4Pi كنقطة.
   • إذا تم تحديد الفترة الزمنية في التمارين / الاختبار ، فأنت تحتاج فقط إلى العثور على المنحنى (المنحنيات) x خلال هذه الفترة.
   • ملاحظة: حل المعادلات المثلثية أمر صعب وغالبًا ما يؤدي إلى أخطاء وأخطاء. لذلك ، يجب فحص الإجابات بعناية. بعد الحل ، يمكنك التحقق من الإجابات باستخدام حاسبة الرسوم البيانية ، للحصول على تمثيل مباشر للمعادلة المثلثية المعطاة R (x) = 0. الإجابات (كجذر تربيعي) معطاة في المنازل العشرية. كمثال ، Pi لها قيمة 3.14