المحتوى

• خطوات
• النصيحة
• تحذير

غالبًا ما يستخدم الانعكاس في حساب التفاضل والتكامل لتبسيط المشكلات الإشكالية بطرق أخرى. على سبيل المثال ، من الأسهل الضرب في معكوس الكسر بدلاً من قسمة هذا الرقم مباشرةً. هذا هو معكوس. وبالمثل ، نظرًا لعدم وجود علامات كسور للمصفوفة ، فسيتعين عليك ضرب معكوس المصفوفة. قد يكون حساب المصفوفة العكسية لمصفوفة 3x3 مملاً للغاية ، لكنها مشكلة تستحق الدراسة. يمكنك أيضًا استخدام حاسبة رسوم بيانية متقدمة للقيام بذلك.

خطوات

طريقة 1 من 3: أنشئ مصفوفة إضافية لإيجاد معكوس المصفوفة

1. 

   تحقق من محدد المصفوفة. الخطوة الأولى: إيجاد محدد المصفوفة. إذا كان المحدد 0 ، يتم ذلك: هذه المصفوفة لا يمكن عكسها. يمكن ترميز محدد المصفوفة M على أنه det (M).
   • لإيجاد معكوس مصفوفة 3 × 3 ، عليك أولاً حساب محددها.
   • لمراجعة كيفية العثور على محدد مصفوفة ، راجع مقالة البحث عن محددات مصفوفة 3 × 3.

2. 

   
   
   تبديل المصفوفة الأصلي. يعني التحويل عكس المصفوفة عبر القطر الرئيسي ، أو بعبارة أخرى ، تبديل العنصر (i، j) والعنصر (j، i). عند تبديل عناصر المصفوفة ، يظل القطر الرئيسي (الممتد من الزاوية اليسرى العليا إلى الزاوية اليمنى السفلية) ثابتًا.
   • هناك طريقة أخرى لفهم التحويل وهي أنك ستعيد كتابة المصفوفة بحيث يصبح الصف الأول هو العمود الأول والصف الأوسط يصبح العمود الأوسط والصف الثالث يصبح العمود الثالث. لاحظ عناصر اللون في الرسم التوضيحي أعلاه ولاحظ الموضع الجديد للأرقام.

3. 

   
   
   أوجد محدد كل 2 × 2 مصفوفة فرعية. جميع عناصر مصفوفة الإزاحة الجديدة 3x3 مرتبطة بمصفوفة 2x2 "فرعية" مقابلة. للعثور على المصفوفة الفرعية لكل عنصر ، قم أولاً بتمييز الصف والعمود الخاصين بالعنصر الأول. سيتم إبراز جميع العناصر الخمسة. تشكل العناصر الأربعة المتبقية المصفوفة الفرعية.
   • في المثال أعلاه ، إذا كنت تريد العثور على المصفوفة الفرعية للعنصر في الصف الثاني والعمود الأول ، فقم بتمييز أجزاء من خمس كلمات في الصف الثاني والعمود الأول. العناصر الأربعة المتبقية هي المصفوفة الفرعية المقابلة.
   • أوجد محدد كل مصفوفة فرعية بضربها قطريًا وطرح حاصل ضرب اثنين من بعضهما البعض ، كما هو موضح في الشكل أعلاه.
   • اقرأ المزيد لمعرفة المزيد عن المصفوفات الفرعية واستخداماتها.

4. 

   
   
   اصنع مصفوفة من الأقسام الفرعية الجبرية. ضع النتيجة التي تم الحصول عليها من الخطوة السابقة في مصفوفة جديدة تتكون من أقسام فرعية جبرية عن طريق وضع كل محدد مصفوفة فرعية في الموضع المقابل في المصفوفة الأصلية. وبالتالي ، سيتم وضع المحدد المحسوب من العنصر (1،1) من المصفوفة الأصلية في الموضع (1،1). بعد ذلك ، سيتعين عليك تغيير علامة الاستبدال لهذه المصفوفة الجديدة وفقًا للجدول المرجعي الموضح في الرسم التوضيحي أعلاه.
   • عند تحديد العلامة ، يتم الاحتفاظ بعلامة الجزيء الأول للمسافة. تنعكس علامة العنصر الثاني. يتم الاحتفاظ بعلامة العنصر الثالث. استمر بهذه الطريقة لبقية المصفوفة. لاحظ أن العلامة (+) أو (-) في المخطط المرجعي لا تشير إلى أنه حتى النهاية ، سيحمل العنصر علامة موجبة أو سلبية. تظهر فقط أن العناصر ستبقى سليمة (+) أو ستتغير باستخدام (-).
   • الرجوع إلى أساسيات المصفوفة لمزيد من الملاحق الجبرية.
   • النتيجة النهائية التي نحصل عليها في هذه الخطوة هي المصفوفة التكميلية للمصفوفة الأصلية. يطلق عليه أحيانًا المصفوفة المترافقة ويشار إليه بـ Adj (M).

5. 

   اقسم كل عناصر المصفوفة التكميلية على المحدد. استخدم محدد المصفوفة M التي حسبتها في الخطوة الأولى (للتحقق مما إذا كانت المصفوفة قابلة للعكس). الآن اقسم كل عنصر من عناصر المصفوفة على هذه القيمة. ضع حاصل قسمة كل قسم في موضع العنصر الأصلي ، ونحصل على معكوس المصفوفة للمصفوفة الأصلية.
   • تحتوي عينة المصفوفة المقدمة في الرسم التوضيحي على المحدد 1. لذلك ، عندما نقسم جميع عناصر المصفوفة التكميلية على المحدد ، نحصل على نفسها (لن تكون محظوظًا دائمًا). .
   • بدلاً من القسمة ، توضح بعض الوثائق هذه الخطوة على أنها ضرب كل عنصر من عناصر M في 1 / det (M). رياضيا ، هما متكافئان.
   الإعلانات

طريقة 2 من 3: إنقاص الصف الخطي لإيجاد معكوس المصفوفة

1. 

   أضف مصفوفة الوحدة إلى المصفوفة الأصلية. اكتب مصفوفة الأساس M ، وارسم خطًا رأسيًا على يمين تلك المصفوفة ، ثم اكتب مصفوفة الوحدة على يمين هذا الخط. في هذه المرحلة ، لدينا مصفوفة تتكون من ثلاثة صفوف وستة أعمدة.
   • تذكر أن مصفوفة الوحدة عبارة عن مصفوفة خاصة بها جميع العناصر على القطر الرئيسي ، تمتد من الزاوية اليسرى العليا إلى الزاوية اليمنى السفلية ، وتساوي 1 وجميع العناصر في المواضع الباقية تساوي الصفر.

2. 

   قم بإجراء تصغير للصف الخطي. الهدف هنا هو إنشاء مصفوفة الوحدة في الجزء الأيسر من المصفوفة الموسعة حديثًا. عند تنفيذ خطوات تقليل الصفوف على اليسار ، يجب أن تقوم بالجزء المقابل على اليمين - الجزء الذي يمثل مصفوفة الوحدة.
   • تذكر أن تقليل الصفوف يتم إجراؤه كمزيج من الضرب القياسي والجمع أو الطرح في الصف ، من أجل عزل العناصر الفردية للمصفوفة.

3. 

   استمر حتى يتم تكوين مصفوفة الوحدة. استمر في الاختزال الخطي حتى تظهر مصفوفة الهوية (العناصر الموجودة على القطر تساوي 1 ، والعناصر الأخرى تساوي 0) في الجزء الأيسر من المصفوفة الموسعة. بمجرد الوصول إلى هذه الخطوة ، يكون الجزء الأيمن من الحاجز العمودي هو معكوس المصفوفة من المصفوفة الأصلية.

4. 

   أعد كتابة معكوس المصفوفة. قم بتكرار العناصر الموجودة حاليًا في الجزء الأيمن من الحاجز الرأسي وهذه هي المصفوفة المعكوسة. الإعلانات

طريقة 3 من 3: ابحث عن معكوس المصفوفة باستخدام آلة حاسبة للجيب

1. 

   اختر آلة حاسبة يمكنها حل المصفوفات. لن تتمكن آلة حاسبة بسيطة من أربع وظائف من إيجاد معكوس المصفوفة مباشرة. ومع ذلك ، وبسبب التكرار الرياضي ، يمكن لآلة حاسبة الرسوم البيانية المتقدمة ، مثل Texas Instruments TI-83 أو TI-86 ، أن تقلل بشكل كبير من عملك المطلوب.

2. 

   أدخل المصفوفة في الآلة الحاسبة. أولاً ، أدخل وظيفة Matrix في الآلة الحاسبة الخاصة بك عن طريق الضغط على مفتاح Matrix ، إذا كان متاحًا على جهازك. باستخدام آلة Texas Instruments ، سيكون عليك الضغط على 2 Matrix.

3. 

   حدد القائمة الفرعية تحرير. للوصول إلى هذه القائمة الفرعية ، قد تحتاج إلى استخدام أزرار الأسهم أو تحديد مفاتيح الوظائف المناسبة الموجودة في الصف العلوي من لوحة مفاتيح الكمبيوتر ، اعتمادًا على تصميمها.

4. 

   اختر اسمًا للمصفوفة الخاصة بك. معظم حاسبات الجيب مجهزة للعمل من 3 إلى 10 مصفوفات ، بأحرف مسماة ، من A إلى J. عادةً ، لنبدأ بها. اضغط على مفتاح Enter لتأكيد اختيار الاسم.

5. 

   أدخل حجم المصفوفة. تركز هذه المقالة على المصفوفات 3x3. ومع ذلك ، يمكن للآلات الحاسبة الجيب التعامل مع مصفوفات أكبر. أدخل عدد الصفوف ، واضغط على Enter ، ثم اكتب رقم العمود واضغط على Enter.

6. 

   أدخل كل عنصر من عناصر المصفوفة. سيتم عرض مصفوفة على شاشة الكمبيوتر. إذا كنت قد عملت باستخدام دالة المصفوفة من قبل ، فستظهر على الشاشة المصفوفة التي عملت معها من قبل. سيحدد المؤشر العنصر الأول في المصفوفة. أدخل قيمة المصفوفة التي تريد حلها واضغط على Enter. سينتقل المؤشر تلقائيًا إلى العنصر التالي ، ليحل محل أي قيم سابقة.
   • إذا كنت تريد إدخال أرقام سالبة ، فاستخدم زر السالب (-) في الآلة الحاسبة ، وليس مفتاح الطرح. وظيفة المصفوفة لن تقرأ بشكل صحيح.
   • إذا لزم الأمر ، يمكنك استخدام مفاتيح الأسهم على الآلة الحاسبة للتنقل عبر المصفوفة.

7. 

   اخرج من دالة المصفوفة. بعد إدخال قيمة المصفوفة بالكامل ، اضغط على مفتاح إنهاء - خروج (أو 2 إنهاء ، إذا لزم الأمر). بفضل ذلك ، تخرج من وظيفة Matrix وتعود إلى شاشة العرض الرئيسية للآلة الحاسبة.

8. 

   استخدم المفتاح العكسي لإيجاد معكوس المصفوفة. أولاً ، أعد فتح وظيفة Matrix واستخدم زر الأسماء لتحديد اسم المصفوفة الذي استخدمته لإعطاء المصفوفة الخاصة بك (قد يكون). بعد ذلك ، اضغط على مفتاح معكوس الآلة الحاسبة. اعتمادًا على الجهاز ، قد تحتاج إلى استخدام الزر 2. تظهر شاشة العرض. اضغط على Enter ، وسيظهر معكوس المصفوفة على شاشتك.
   • لا تستخدم الزر ^ على جهاز الكمبيوتر الخاص بك عند محاولة إدخال A ^ -1 بنقرات فردية. لن تفهم أجهزة الكمبيوتر هذه الرياضيات.
   • إذا تلقيت رسالة خطأ عند الضغط على المفتاح المعكوس ، فمن الأرجح أن المصفوفة الأصلية غير قابلة للعكس. ربما يجب أن تعود وتتسم بالجودة لتحديد ما إذا كان هذا هو سبب الخطأ.

9. 

   حوّل معكوس المصفوفة إلى الإجابة الصحيحة. يتم عرض النتيجة الأولى التي تم إرجاعها بواسطة الكمبيوتر بالتدوين العشري. هذه ليست بالضرورة الإجابة "الصحيحة" لمعظم الأغراض. يجب عليك تحويل هذه الإجابة العشرية إلى كسر إذا لزم الأمر (إذا كنت محظوظًا بما فيه الكفاية ، فإن جميع النتائج هي أعداد صحيحة. ومع ذلك ، فهي نادرة جدًا)
   • ربما تحتوي الآلة الحاسبة على وظيفة تقوم تلقائيًا بتحويل الكسور العشرية إلى كسور. على سبيل المثال ، عند استخدام TI-86 ، يمكنك الانتقال إلى وظيفة الرياضيات ، وتحديد متفرقات ثم Frac والضغط على Enter. سيتم تمثيل الكسور العشرية تلقائيًا ككسور.
10. تحتوي معظم حاسبات الرسوم البيانية على أقواس مربعة (بالنسبة إلى TI-84 ، أي 2 + x و 2 + -) تسمح لك بإدخال مصفوفة دون استخدام دالة مصفوفة. ملاحظة: قد لا تقوم الآلة الحاسبة بتنسيق مصفوفة حتى يتم استخدام مفتاح الإدخال / المساواة (بمعنى أن كل شيء سيكون في نفس الصف وليس جيدًا جدًا). الإعلانات

النصيحة

• يمكنك اتباع هذه الخطوات للعثور على معكوس مصفوفة لا تحتوي على أرقام فحسب ، بل تحتوي أيضًا على متغيرات أو مجاهيل أو حتى تعبيرات جبرية.
• اكتب كل الخطوات لأن إيجاد معكوس مصفوفة 3 × 3 فقط بالرياضيات أمر صعب للغاية.
• توجد برامج حاسبة تساعدك في العثور على مصفوفات معكوسة تصل إلى 30 × 30 وتتضمن مصفوفات.
• بغض النظر عن الطريقة المستخدمة ، تحقق من دقة النتيجة بضرب M في M. ستؤكد أن M * M = M * M = I. أين ، أنا هي مصفوفة الوحدة ، يتكون من العناصر 1 الموجودة على طول القطر الرئيسي والأصفار في مكان آخر. إذا لم تحصل على مثل هذه النتائج ، فلا بد أنك أخطأت في مكان ما.

تحذير

• لا تحتوي جميع المصفوفات 3x3 على مصفوفات معكوسة. إذا كان المحدد 0 ، فإن هذه المصفوفة لا يمكن عكسها (لاحظ أنه في الصيغة ، نقسم على det (M). القسمة على الصفر هي عملية غير محددة).