المحتوى

• ملخص موجز
• خطوات
• جزء 1 من 3: اختبار قابلية قسمة المصفوفات
• جزء 2 من 3: إيجاد معكوس المصفوفة
• جزء 3 من 3: ضرب المصفوفة
• نصائح
• تحذيرات
• مقالات إضافية

إذا كنت تعرف كيفية ضرب مصفوفتين ، يمكنك البدء في "قسمة" المصفوفات. كلمة "قسمة" محاطة بعلامات اقتباس ، لأنه لا يمكن في الواقع تقسيم المصفوفات. يتم استبدال عملية القسمة بعملية ضرب مصفوفة واحدة في مصفوفة تمثل معكوس المصفوفة الثانية. للتبسيط ، ضع في اعتبارك مثالًا مع الأعداد الصحيحة: 10 5. أوجد مقلوب 5: 5 أو /₅، ثم استبدل القسمة بالضرب: 10 x 5؛ ستكون نتيجة القسمة والضرب هي نفسها. لذلك ، يُعتقد أنه يمكن استبدال القسمة بضرب المصفوفة العكسية. عادة ، يتم استخدام هذه الحسابات لحل أنظمة المعادلات الخطية.

ملخص موجز

1. لا يمكنك تقسيم المصفوفات. بدلاً من القسمة ، يتم ضرب مصفوفة واحدة في معكوس المصفوفة الثانية. تتم كتابة "تقسيم" مصفوفتين [A] ÷ [B] على النحو التالي: [A] * [B] أو [B] * [A].
2. إذا كانت المصفوفة [B] غير مربعة ، أو إذا كان محددها 0 ، فاكتب "لا يوجد حل لا لبس فيه". خلاف ذلك ، أوجد محدد المصفوفة [B] وانتقل إلى الخطوة التالية.
3. أوجد المعكوس: [B].
4. اضرب المصفوفات لإيجاد [A] * [B] أو [B] * [A]. ضع في اعتبارك أن الترتيب الذي يتم به ضرب المصفوفات يؤثر على النتيجة النهائية (أي أن النتائج قد تختلف).

خطوات

جزء 1 من 3: اختبار قابلية قسمة المصفوفات

1. 1 فهم "تقسيم" المصفوفات. في الواقع ، لا يمكن تقسيم المصفوفات. لا توجد عملية حسابية مثل "قسمة مصفوفة على أخرى". يتم استبدال القسمة بضرب مصفوفة واحدة في معكوس المصفوفة الثانية. أي أن التدوين [A] ÷ [B] غير صحيح ، لذلك تم استبداله بالتدوين التالي: [A] * [B]. نظرًا لأن كلا الإدخالات متساوية في حالة القيم العددية ، فمن الناحية النظرية يمكننا التحدث عن "تقسيم" المصفوفات ، ولكن لا يزال من الأفضل استخدام المصطلحات الصحيحة.
   • لاحظ أن [A] * [B] و [B] * [A] عمليات مختلفة. قد يكون من الضروري إجراء كلتا العمليتين لإيجاد جميع الحلول الممكنة.
   • على سبيل المثال ، بدلاً من ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} div { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ اكتب ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} }$.
     قد تضطر إلى الحساب ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} }$للحصول على نتيجة مختلفة.
2. 2 تأكد من أن المصفوفة التي "تقسم" المصفوفة الأخرى عليها مربعة. لعكس مصفوفة (أوجد معكوس المصفوفة) ، يجب أن تكون مربعة ، أي بنفس عدد الصفوف والأعمدة. إذا لم تكن المصفوفة المقلوبة معكوسة ، فلا يوجد حل محدد.
   • مرة أخرى ، المصفوفات ليست "قابلة للقسمة" هنا. في العملية [A] * [B] ، يشير الشرط الموصوف إلى المصفوفة [B]. في مثالنا ، يشير هذا الشرط إلى المصفوفة ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$
   • تسمى المصفوفة التي يمكن قلبها غير متدهورة أو منتظمة. تسمى المصفوفة التي لا يمكن قلبها بالمنحطة أو المفرد.
3. 3 تحقق مما إذا كان من الممكن ضرب المصفوفتين. لضرب مصفوفتين ، يجب أن يكون عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى مساويًا لعدد الصفوف في المصفوفة الثانية. إذا لم يتم استيفاء هذا الشرط في الإدخال [A] * [B] أو [B] * [A] ، فلا يوجد حل.
   • على سبيل المثال ، إذا كان حجم المصفوفة [A] هو 4 × 3 وحجم المصفوفة [B] هو 2 × 2 ، فلا يوجد حل. لا يمكنك ضرب [A] * [B] لأن 4 ≠ 2 ، ولا يمكنك ضرب [B] * [A] لأن 2 ≠ 3.
   • لاحظ أن المصفوفة المعكوسة [B] لها دائمًا نفس عدد الصفوف والأعمدة مثل المصفوفة الأصلية [B]. ليس من الضروري إيجاد معكوس المصفوفة للتأكد من إمكانية ضرب مصفوفتين.
   • في مثالنا ، حجم كلتا المصفوفتين 2 × 2 ، لذا يمكن ضربهما بأي ترتيب.
4. 4 أوجد محدد مصفوفة 2 × 2. تذكر: لا يمكنك عكس المصفوفة إلا إذا كان محددها ليس صفرًا (وإلا فلن تتمكن من قلب المصفوفة). إليك كيفية إيجاد محدد مصفوفة 2 × 2:
   • 2 × 2 مصفوفة: محدد المصفوفة ${ displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}}$ يساوي ad - bc. أي ، من منتج عناصر القطر الرئيسي (يمر عبر الزوايا اليمنى العلوية والسفلية اليمنى) ، اطرح منتجات عناصر القطر الآخر (يمر عبر الزوايا اليمنى العلوية والسفلية اليسرى).
   • على سبيل المثال ، محدد المصفوفة ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ يساوي (7) (3) - (4) (2) = 21 - 8 = 13. المحدد غير صفري ، لذلك يمكن عكس هذه المصفوفة.
5. 5 أوجد محدد المصفوفة الأكبر. إذا كان حجم المصفوفة 3 × 3 أو أكثر ، فسيكون حساب المحدد أصعب قليلاً.
   • 3 × 3 مصفوفة: حدد أي عنصر واشطب الصف والعمود الذي يوجد فيه.أوجد محدد مصفوفة 2 × 2 الناتجة ، ثم اضربها في العنصر المحدد ؛ حدد علامة المحدد في جدول خاص. كرر هذه العملية للعنصرين الآخرين الموجودين في نفس الصف أو العمود مثل العنصر الذي حددته. ثم ابحث عن مجموع المحددات (الثلاثة) المستلمة. اقرأ هذه المقالة لمزيد من المعلومات حول كيفية إيجاد محدد مصفوفة 3 × 3.
   • المصفوفات الكبيرة: من الأفضل البحث عن محدد مثل هذه المصفوفات باستخدام آلة حاسبة بيانية أو برنامج. تشبه هذه الطريقة طريقة إيجاد محدد مصفوفة 3 × 3 ، ولكن تطبيقه يدويًا أمر شاق. على سبيل المثال ، لإيجاد محدد مصفوفة 4 × 4 ، عليك إيجاد محددات أربع مصفوفات 3 × 3.
6. 6 تواصل الحسابات. إذا لم تكن المصفوفة مربعة أو إذا كان محددها يساوي صفرًا ، فاكتب "لا يوجد حل لا لبس فيه" ، أي أن عملية الحساب قد اكتملت. إذا كانت المصفوفة مربعة ولها محدد غير صفري ، فانتقل إلى القسم التالي.

جزء 2 من 3: إيجاد معكوس المصفوفة

1. 1 قم بتبديل عناصر القطر الرئيسي لمصفوفة 2 × 2. بالنظر إلى مصفوفة 2 × 2 ، استخدم طريقة العكسي السريع. أولاً ، قم بتبديل العنصر العلوي الأيسر والعنصر السفلي الأيمن. فمثلا:
   • ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$
   • ملحوظة: يستخدم معظم الناس الآلات الحاسبة لعكس مصفوفة 3 × 3 (أو أكبر). إذا كنت تريد القيام بذلك يدويًا ، فانتقل إلى نهاية هذا القسم.
2. 2 لا تقم بتبديل العنصرين المتبقيين ، ولكن قم بتغيير علامتهما. أي ، اضرب العنصر العلوي الأيمن والعنصر السفلي الأيسر في -1:
   • ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
3. 3 أوجد مقلوب المحدد. تم العثور على محدد هذه المصفوفة في القسم السابق ، لذلك لن نحسبها مرة أخرى. تتم كتابة معكوس المحدد على النحو التالي: 1 / (المحدد):
   • في مثالنا المحدد هو 13. القيمة العكسية: ${ displaystyle { frac {1} {13}}}$.
4. 4 اضرب المصفوفة الناتجة في مقلوب المحدد. اضرب كل عنصر من عناصر المصفوفة الجديدة في معكوس المحدد. ستكون المصفوفة النهائية هي معكوس المصفوفة الأصلية 2 × 2:
   • ${ displaystyle { frac {1} {13}} * { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
     =${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}}}$
5. 5 تحقق من صحة الحسابات. للقيام بذلك ، اضرب المصفوفة الأصلية في معكوسها. إذا كانت الحسابات صحيحة ، فإن حاصل ضرب المصفوفة الأصلية بالمقلوب سيعطي مصفوفة الوحدة: ${ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}$... إذا كان الاختبار ناجحًا ، فانتقل إلى القسم التالي.
   • في مثالنا: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}$.
   • لمزيد من المعلومات حول كيفية ضرب المصفوفات ، اقرأ هذه المقالة.
   • ملاحظة: عملية ضرب المصفوفات ليست تبادلية ، أي أن ترتيب المصفوفات مهم. ولكن عندما يتم ضرب المصفوفة الأصلية في معكوسها ، فإن أي ترتيب يؤدي إلى مصفوفة الوحدة.
6. 6 أوجد معكوس مصفوفة 3 × 3 (أو أكبر). إذا كنت معتادًا بالفعل على هذه العملية ، فمن الأفضل استخدام آلة حاسبة بيانية أو برنامج خاص. إذا كنت بحاجة إلى العثور على المصفوفة المعكوسة يدويًا ، فسيتم وصف العملية بإيجاز أدناه:
   • انضم إلى مصفوفة الهوية I على الجانب الأيمن من المصفوفة الأصلية. على سبيل المثال ، [B] → [B | أنا]. بالنسبة لمصفوفة الوحدة ، فإن جميع عناصر القطر الرئيسي تساوي 1 ، وجميع العناصر الأخرى تساوي 0.
   • بسّط المصفوفة بحيث يتدرج جانبها الأيسر ؛ استمر في التبسيط بحيث يصبح الجانب الأيسر مصفوفة الوحدة.
   • بعد التبسيط ، ستتخذ المصفوفة الشكل التالي: [I | ب]. أي أن جانبها الأيمن هو معكوس المصفوفة الأصلية.

جزء 3 من 3: ضرب المصفوفة

1. 1 اكتب تعبيرين محتملين. عملية ضرب عددين تبادلية ، أي 2 × 6 = 6 × 2.ليس هذا هو الحال في حالة ضرب المصفوفات ، لذلك قد تضطر إلى حل تعبيرين:
   • x = [A] * [B] هو حل المعادلة x[ب] = [أ].
   • x = [B] * [A] هو حل المعادلة [B]x = [أ].
   • نفذ كل عملية حسابية على طرفي المعادلة. إذا كان [A] = [C] ثم [B] [A] ≠ [C] [B] لأن [B] على يسار [A] ولكن على يمين [C].
2. 2 حدد حجم المصفوفة النهائية. يعتمد حجم المصفوفة النهائية على حجم المصفوفات المضاعفة. عدد الصفوف في المصفوفة النهائية يساوي عدد الصفوف في المصفوفة الأولى ، وعدد الأعمدة في المصفوفة النهائية يساوي عدد الأعمدة في المصفوفة الثانية.
   • في مثالنا ، حجم كلتا المصفوفتين ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}}}$ و ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}}}$ هو 2 × 2 ، لذا فإن حجم المصفوفة الأصلية سيكون 2 × 2.
   • فكر في مثال أكثر تعقيدًا: إذا كان حجم المصفوفة [A] هو 4 x 3 ، وحجم المصفوفة [B] هو 3 x 3، فإن المصفوفة النهائية [A] * [B] ستكون 4 × 3.
3. 3 أوجد قيمة العنصر الأول. اقرأ هذه المقالة أو تذكر الخطوات الأساسية التالية:
   • لإيجاد العنصر الأول (الصف الأول ، العمود الأول) من المصفوفة النهائية [A] [B] ، احسب حاصل الضرب القياسي لعناصر الصف الأول من المصفوفة [A] وعناصر العمود الأول من المصفوفة [B ]. في حالة مصفوفة 2 × 2 ، يتم حساب حاصل الضرب النقطي على النحو التالي: ${ displaystyle a_ {1،1} * b_ {1،1} + a_ {1،2} * b_ {2،1}}$.
   • في مثالنا: ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7} {13}} end {pmatrix}}}$... وبالتالي ، سيكون العنصر الأول في المصفوفة النهائية هو العنصر:
     ${ displaystyle (13 * { frac {3} {13}}) + (26 * { frac {-2} {13}})}$
     ${ displaystyle = 3 + -4}$
     ${ displaystyle = -1}$
4. 4 استمر في حساب حاصل الضرب النقطي لإيجاد كل عنصر من عناصر المصفوفة النهائية. على سبيل المثال ، العنصر الموجود في الصف الثاني والعمود الأول يساوي حاصل الضرب القياسي للصف الثاني من المصفوفة [A] والعمود الأول من المصفوفة [B]. حاول أن تجد العناصر المتبقية بنفسك. يجب أن تحصل على النتائج التالية:
   • ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7} {13}} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -1 & 10 7 & -5 نهاية {pmatrix}}}$
   • إذا كنت بحاجة إلى إيجاد حل آخر: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -9 & 2 19 & 3 نهاية {pmatrix}}}$

نصائح

• يمكن تقسيم المصفوفة إلى عدد ؛ لهذا ، يتم تقسيم كل عنصر من عناصر المصفوفة على مقياس.
  • على سبيل المثال ، إذا كانت المصفوفة ${ displaystyle { begin {pmatrix} 6 & 8 2 & 4 end {pmatrix}}}$ مقسومًا على 2 ، تحصل على المصفوفة ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 1 & 2 end {pmatrix}}}$

تحذيرات

• لا تعطي الآلة الحاسبة دائمًا نتائج دقيقة تمامًا عندما يتعلق الأمر بحسابات المصفوفة. على سبيل المثال ، إذا ادعت الآلة الحاسبة أن العنصر رقم صغير جدًا (مثل 2E) ، فمن المرجح أن تكون القيمة صفرًا.

مقالات إضافية

كيفية ضرب المصفوفات كيفية إيجاد معكوس مصفوفة 3x3 كيفية إيجاد محدد مصفوفة 3X3 كيفية إيجاد الحد الأقصى أو الأدنى لوظيفة تربيعية كيف تحسب التردد كيفية حل المعادلات التربيعية كيفية قياس الارتفاع بدون شريط قياس كيفية إيجاد الجذر التربيعي لرقم يدويًا كيفية تحويل المليلتر إلى جرام كيفية التحويل من نظام ثنائي إلى نظام عشري كيفية حساب قيمة pi كيفية التحويل من النظام العشري إلى الثنائي كيف تحسب الاحتمال كيفية تحويل الدقائق إلى ساعات