المحتوى

• خطوات
• نصائح

الرسم البياني للمعادلة التربيعية على شكل ax + bx + c أو a (x - h) + k هو قطع مكافئ (منحنى على شكل حرف U). لرسم مثل هذه المعادلة ، تحتاج إلى إيجاد رأس القطع المكافئ واتجاهها ونقاط تقاطعها مع محوري X و Y. إذا أعطيت لك معادلة تربيعية بسيطة نسبيًا ، فيمكنك استبدال قيم مختلفة لـ "x "فيه ، ابحث عن القيم المقابلة لـ" y "وأنشئ رسمًا بيانيًا ...

خطوات

1. 1 يمكن كتابة المعادلة التربيعية في شكل قياسي وفي شكل غير قياسي. يمكنك استخدام أي نوع من المعادلات لرسم معادلة تربيعية (طريقة الرسم مختلفة قليلاً). كقاعدة عامة ، في المسائل ، يتم إعطاء المعادلات التربيعية في شكل قياسي ، ولكن هذه المقالة ستخبرك عن كلا النوعين من كتابة المعادلة التربيعية.
   • الشكل القياسي: f (x) = ax + bx + c ، حيث a و b و c أرقام حقيقية و a 0.
     • على سبيل المثال ، معادلتان من النموذج القياسي: f (x) = x + 2x + 1 و f (x) = 9x + 10x -8.
   • الشكل غير القياسي: f (x) = a (x - h) + k ، حيث a ، h ، k أرقام حقيقية و a 0.
     • على سبيل المثال ، معادلتان بصيغة غير قياسية: f (x) = 9 (x - 4) + 18 and -3 (x - 5) + 1.
   • لرسم معادلة تربيعية من أي نوع ، تحتاج أولاً إلى إيجاد رأس القطع المكافئ الذي له إحداثيات (h، k). إحداثيات رأس القطع المكافئ في معادلات النموذج القياسي تُحسب بواسطة الصيغ: h = -b / 2a and k = f (h) ؛ يمكن الحصول على إحداثيات رأس القطع المكافئ في المعادلات ذات الشكل غير القياسي مباشرة من المعادلات.
2. 2 لرسم الرسم البياني ، تحتاج إلى إيجاد القيم العددية للمعاملات أ ، ب ، ج (أو أ ، ح ، ك). في معظم المسائل ، تُعطى المعادلات التربيعية بقيم عددية للمعاملات.
   • على سبيل المثال ، في المعادلة القياسية f (x) = 2x + 16x + 39 a = 2 ، b = 16 ، c = 39.
   • على سبيل المثال ، في معادلة غير قياسية f (x) = 4 (x - 5) + 12 ، a = 4 ، h = 5 ، k = 12.
3. 3 احسب h في المعادلة القياسية (في المعادلة غير القياسية المعطاة بالفعل) باستخدام الصيغة: ح = -ب / 2 أ.
   • في مثال المعادلة القياسية لدينا ، f (x) = 2x + 16x + 39 h = -b / 2a = -16/2 (2) = -4.
   • في مثالنا الخاص بالمعادلة غير القياسية ، f (x) = 4 (x - 5) + 12 h = 5.
4. 4 احسب k في المعادلة القياسية (في المعادلة غير القياسية المعطاة بالفعل). تذكر أن k = f (h) ، أي يمكنك إيجاد k بالتعويض عن القيمة التي تم العثور عليها لـ h بدلاً من "x" في المعادلة الأصلية.
   • لقد وجدت أن h = -4 (للمعادلة القياسية). لحساب k ، استبدل هذه القيمة بـ "x":
     • ك = 2 (-4) + 16 (-4) + 39.
     • ك = 2 (16) - 64 + 39.
     • ك = 32 - 64 + 39 = 7
   • في معادلة غير قياسية ، ك = 12.
5. 5 ارسم رأسًا بالإحداثيات (h، k) على مستوى الإحداثيات. يتم رسم h على طول المحور X ورسم k على طول المحور Y. يكون الجزء العلوي من القطع المكافئ إما أدنى نقطة (إذا كان القطع المكافئ يشير إلى أعلى) أو أعلى نقطة (إذا كان القطع المكافئ يشير إلى الأسفل).
   • في مثال المعادلة القياسية لدينا إحداثيات الرأس (-4 ، 7). ارسم هذه النقطة على مستوى الإحداثيات.
   • في مثالنا على معادلة مخصصة ، إحداثيات الرأس (5 ، 12). ارسم هذه النقطة على مستوى الإحداثيات.
6. 6 ارسم محور تناظر القطع المكافئ (اختياري). يمر محور التناظر عبر قمة القطع المكافئ الموازي للمحور Y (أي عموديًا تمامًا). يقسم محور التناظر القطع المكافئ إلى نصفين (أي أن القطع المكافئ متماثل المرآة حول هذا المحور).
   • في مثالنا المعادلة القياسية ، يكون محور التناظر عبارة عن خط مستقيم موازٍ للمحور Y ويمر بالنقطة (-4 ، 7). على الرغم من أن هذا الخط ليس جزءًا من القطع المكافئ نفسه ، إلا أنه يعطي فكرة عن تناظر القطع المكافئ.
7. 7 حدد اتجاه القطع المكافئ - لأعلى أو لأسفل. هذا من السهل جدا القيام به.إذا كان المعامل "a" موجبًا ، يتم توجيه القطع المكافئ لأعلى ، وإذا كان المعامل "a" سالبًا ، يتم توجيه القطع المكافئ إلى أسفل.
   • في مثالنا للمعادلة القياسية ، f (x) = 2x + 16x + 39 ، يشير القطع المكافئ لأعلى ، حيث أن a = 2 (معامل موجب).
   • في مثالنا للمعادلة غير القياسية f (x) = 4 (x - 5) + 12 ، يتم أيضًا توجيه القطع المكافئ لأعلى ، نظرًا لأن a = 4 (معامل موجب).
8. 8 إذا لزم الأمر ، حدد موقع تقاطع x ورسمه. ستساعدك هذه النقاط كثيرًا عند رسم القطع المكافئ. يمكن أن يكون هناك اثنان ، واحد أو لا شيء (إذا كان القطع المكافئ موجهًا لأعلى وكان رأسه يقع فوق المحور X ، أو إذا كان القطع المكافئ موجهًا لأسفل ورأسه يقع أسفل المحور X). لحساب إحداثيات نقاط التقاطع مع المحور X ، قم بما يلي:
   • ضع المعادلة على صفر: f (x) = 0 وحلها. تعمل هذه الطريقة مع المعادلات التربيعية البسيطة (خاصة المعادلات غير القياسية) ، ولكنها قد تكون صعبة للغاية بالنسبة للمعادلات المعقدة. في مثالنا:
     • و (س) = 4 (س - 12) - 4
     • 0 = 4 (س - 12) - 4
     • 4 = 4 (× - 12)
     • 1 = (س - 12)
     • √1 = (س - 12)
     • +/- 1 = س -12. نقاط تقاطع القطع المكافئ مع المحور السيني إحداثيات (11،0) و (13،0).
   • حلل المعادلة التربيعية ذات الشكل القياسي إلى عوامل: ax + bx + c = (dx + e) ​​(fx + g) ، حيث dx × fx = ax ، (dx × g + fx × e) = bx ، e × g = ج. ثم اضبط كل ذي حدين على 0 وابحث عن قيم "x". فمثلا:
     • س + 2 س + 1
     • = (س + 1) (س + 1)
     • في هذه الحالة ، توجد نقطة تقاطع واحدة للقطع المكافئ مع المحور x بالإحداثيات (-1،0) ، لأنه عند x + 1 = 0 x = -1.
   • إذا لم تتمكن من تحليل المعادلة ، فقم بحلها باستخدام الصيغة التربيعية: x = (-b +/- √ (b - 4ac)) / 2a.
     • على سبيل المثال: -5x + 1x + 10.
     • س = (-1 +/- √ (1-4 (-5) (10))) / 2 (-5)
     • س = (-1 +/- √ (1 + 200)) / - 10
     • س = (-1 +/- √ (201)) / - 10
     • س = (-1 +/- 14.18) / - 10
     • س = (13.18 / -10) و (-15.18 / -10). نقاط تقاطع القطع المكافئ مع المحور X إحداثيات (-1،318،0) و (1،518،0).
     • في مثالنا ، معادلات النموذج القياسي 2x + 16x + 39:
     • س = (-16 +/- (16-4 (2) (39))) / 2 (2)
     • س = (-16 +/- (256-312)) / 4
     • س = (-16 +/- √ (-56) / - 10
     • نظرًا لأنه من المستحيل استخراج الجذر التربيعي لرقم سالب ، في هذه الحالة لا يتقاطع القطع المكافئ مع المحور السيني.
9. 9 حدد موقع التقاطع y ورسمه حسب الحاجة. إنه سهل للغاية - عوض عن x = 0 في المعادلة الأصلية وابحث عن قيمة "y". تقاطع Y هو نفسه دائمًا. ملاحظة: في معادلات النموذج القياسي ، يكون لنقطة التقاطع إحداثيات (0 ، ث).
   • على سبيل المثال ، القطع المكافئ للمعادلة التربيعية 2x + 16x + 39 يتقاطع مع المحور Y عند النقطة ذات الإحداثيات (0 ، 39) ، لأن c = 39. ولكن يمكن حساب ذلك:
     • و (س) = 2 س + 16 س + 39
     • و (س) = 2 (0) + 16 (0) + 39
     • f (x) = 39 ، أي أن القطع المكافئ لهذه المعادلة التربيعية يتقاطع مع المحور Y عند النقطة ذات الإحداثيات (0 ، 39).
   • في مثالنا الخاص بالمعادلة غير القياسية 4 (x - 5) + 12 ، يتم حساب تقاطع y على النحو التالي:
     • و (س) = 4 (س - 5) + 12
     • و (س) = 4 (0-5) + 12
     • و (س) = 4 (-5) + 12
     • و (س) = 4 (25) + 12
     • f (x) = 112 ، أي أن القطع المكافئ لهذه المعادلة التربيعية يتقاطع مع المحور Y عند النقطة ذات الإحداثيات (0 ، 112).
10. 10 لقد وجدت (ورسمت) رأس القطع المكافئ واتجاهه ونقاط التقاطع مع المحورين X و Y. يمكنك بناء قطع مكافئ من هذه النقاط أو إيجاد ورسم نقاط إضافية وبعد ذلك فقط بناء القطع المكافئ. للقيام بذلك ، قم بالتعويض عن قيم x المتعددة (على جانبي الرأس) في المعادلة الأصلية لحساب قيم y المقابلة.
    • دعنا نعود إلى المعادلة x + 2x + 1. أنت تعلم بالفعل أن نقطة تقاطع الرسم البياني لهذه المعادلة مع المحور X هي النقطة ذات الإحداثيات (-1،0). إذا كان للقطع المكافئ نقطة تقاطع واحدة فقط مع المحور X ، فهذا هو رأس القطع المكافئ الواقع على المحور X. في هذه الحالة ، لا تكفي نقطة واحدة لبناء قطع مكافئ منتظم. لذا ابحث عن بعض النقاط الإضافية.
      • لنفترض أن س = 0 ، س = 1 ، س = -2 ، س = -3.
      • x = 0: f (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1. إحداثيات النقطة: (0,1).
      • x = 1: f (x) = (1) + 2 (1) + 1 = 4. إحداثيات النقطة: (1,4).
      • x = -2: f (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1. إحداثيات النقطة: (-2,1).
      • x = -3: f (x) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. إحداثيات النقطة: (-3,4).
      • ارسم هذه النقاط على مستوى الإحداثيات وارسم القطع المكافئ (قم بتوصيل النقاط بمنحنى حرف U). يرجى ملاحظة أن القطع المكافئ متماثل تمامًا - يمكن عكس أي نقطة على فرع واحد من القطع المكافئ (بالنسبة إلى محور التناظر) على الفرع الآخر من القطع المكافئ. سيوفر لك هذا الوقت ، لأنك لست بحاجة إلى حساب إحداثيات النقاط على فرعي القطع المكافئ.

نصائح

• تقريب الأعداد الكسرية (إذا كان هذا من متطلبات المعلم) - هذه هي الطريقة التي تبني بها القطع المكافئ الصحيح.
• إذا كانت المعامِلات b أو c في f (x) = ax + bx + c تساوي صفرًا ، فلا توجد شروط مع هذه المعاملات في المعادلة.على سبيل المثال ، يصبح 12x + 0x + 6 12x + 6 لأن 0x تساوي 0.