احسب الحجم

فيديو: كيفية حساب حجم المجسمات:الأسطوانة-موشور قائم-مكعب-متوازي المستطيلات

المحتوى

لتخطو
طريقة 1 من 6: احسب حجم المكعب
الطريقة 2 من 6: احسب حجم العارضة.
طريقة 3 من 6: احسب حجم الأسطوانة
طريقة 4 من 6: احسب حجم الهرم المنتظم
طريقة 5 من 6: احسب حجم المخروط
طريقة 6 من 6: احسب حجم الكرة

حجم الشكل هو الفضاء ثلاثي الأبعاد الذي يشغله الشكل. يمكنك التفكير في الحجم على أنه كمية الماء (أو الهواء ، والرمل ، وما إلى ذلك) التي تتناسب مع القالب إذا كان ممتلئًا تمامًا. الوحدات الشائعة لقياس الحجم هي السنتيمتر المكعب والمتر المكعب. ستعلمك هذه المقالة كيفية حساب حجم ستة أشكال مختلفة ثلاثية الأبعاد تصادفها عادة في اختبارات الرياضيات ، بما في ذلك المكعب والكرة والمخروط. سترى أن هناك العديد من أوجه التشابه التي تجعل من السهل تذكرها. مشاهدة إذا كان يمكنك العثور على تلك المباريات!

لتخطو

طريقة 1 من 6: احسب حجم المكعب

تعرف على المكعب. المكعب شكل ثلاثي الأبعاد له ستة أوجه مربعة متطابقة. بمعنى آخر ، إنه صندوق به جوانب متساوية في كل مكان.
- النرد هو مثال جيد لمكعب قد يكون لديك في المنزل. مكعبات أو مكعبات سكر الأطفال غالبًا ما تكون أيضًا مكعبات.
تعلم الصيغة لحساب حجم المكعب. نظرًا لأن جميع أطوال أضلاع المكعب متساوية ، فإن صيغة حساب حجم المكعب سهلة للغاية. المكان الذي يلتقي فيه الجانبان يسمى الضلع. نقوم بتقصير الحجم إلى "V". نسمي الأضلاع ، أو طول الضلع ، "s" هنا. تصبح الصيغة بعد ذلك V = s³
- لإيجاد s³ ، اضرب s ثلاث مرات في نفسها: s³ = s x s x s
أوجد طول أحد جوانب المكعب. اعتمادًا على المهمة ، قد تكون هذه المعلومات موجودة بالفعل ، ولكن قد تحتاج أيضًا إلى قياسها بنفسك باستخدام المسطرة. تذكر أنه لأنه مكعب ، يجب أن تكون جميع أطوال الأضلاع متساوية ، لذا لا يهم أي واحد تقيسه.
- إذا لم تكن متأكدًا بنسبة 100٪ أن شكلك عبارة عن مكعب ، فقم بقياس جميع الجوانب لمعرفة ما إذا كانت متشابهة. إذا لم تكن كذلك ، فستحتاج إلى استخدام الطريقة أدناه لحساب حجم الحزمة. ملاحظة: في أمثلة الصور ، يتم إعطاء القياسات بالبوصة (in) ، ومع ذلك ، فإننا نستخدم السنتيمتر (سم).
ضع طول الضلع في الصيغة V = s³ واحسبه. على سبيل المثال ، إذا قمت بقياس أن طول ضلع المكعب هو 5 سم ، فاكتب الصيغة على النحو التالي: V = (5) ³. 5 × 5 × 5 = 125 سم مكعب ، هذا هو حجم المكعب!
تأكد من كتابة إجابتك بالسنتيمتر المكعب. في المثال أعلاه ، تم قياس المكعب بالسنتيمتر ، لذا يجب إعطاء الإجابة بالسنتيمتر المكعب. إذا كان طول جانب المكعب 3 أمتار ، فإن الحجم سيكون V = (3 م) ³ = 27 م³.

الطريقة 2 من 6: احسب حجم العارضة.

التعرف على شريط. الشريط هو شكل يتكون من ستة أوجه مستطيلة. إذن فهو في الواقع مستطيل ثلاثي الأبعاد ، نوع من الصندوق.
- المكعب في الأساس هو مجرد شعاع خاص ، حيث تتساوى جميع الجوانب.
تعلم الصيغة لحساب حجم العارضة. صيغة حجم الحزمة هي V = الطول (l) x العرض (w) x الارتفاع (h) ، أو V = l x w x h. ملاحظة: في صور هذه الأمثلة ، يرمز الحرف "w" إلى العرض.
أوجد طول الشريط. الطول هو أطول جانب من الشعاع موازٍ للأرض أو السطح الذي تستقر عليه. قد يكون الطول محددًا بالفعل في الصورة ، أو قد تحتاج إلى قياسه باستخدام مسطرة.
- مثال: طول هذا الشعاع 4 سم ، لذا ل = 4 سم.
- لا تقلق كثيرًا بشأن أي جانب هو الطول ، وما إلى ذلك. طالما أنك تقيس ثلاثة جوانب مختلفة ، فإن النتيجة ستكون هي نفسها.
أوجد عرض الشعاع. يمكنك معرفة عرض الشعاع بقياس الجانب القصير الموازي للأرض أو السطح الذي يقع عليه. مرة أخرى ، تحقق أولاً مما إذا كان قد تم الإشارة إليه بالفعل في الصورة ، وقم بقياسه بطريقة أخرى باستخدام المسطرة.
- مثال: عرض هذا الشعاع 3 سم ، لذا ب = 3 سم.
- إذا كنت تقيس الشريط بمسطرة أو شريط قياس ، فلا تنس كتابة كل شيء في نفس وحدة القياس.
أوجد ارتفاع الشعاع. الارتفاع هو المسافة من الأرض أو السطح التي تقع عليها الحزمة إلى أعلى الحزمة. تحقق مما إذا كان قد تم الإشارة إليه بالفعل في الصورة وقم بقياسه بطريقة أخرى باستخدام المسطرة أو شريط القياس.
- مثال: ارتفاع هذه الحزمة 6 سم ، لذا ع = 6 سم.
أدخل الأبعاد في الصيغة وحسابها. تذكر أن V = l x w x h.
- في هذا المثال ، ل = 4 ، ب = 3 ، ع = 6. لذلك ، تكون النتيجة V = 4 × 3 × 6 = 72.
تأكد من كتابة إجابتك بالسنتيمتر المكعب. وبذلك تكون النتيجة 72 سم مكعب أو 72 سم مكعب.
- إذا كانت أبعاد الحزمة بالأمتار ، سيكون لديك ، على سبيل المثال ، l = 2 m ، w = 4 m ، و h = 8 m ، ثم سيكون الحجم 2 م × 4 م × 8 م = 64 م³.

طريقة 3 من 6: احسب حجم الأسطوانة

تعلم كيفية التعرف على الاسطوانة. الأسطوانة عبارة عن شكل ثلاثي الأبعاد له طرفان دائريان متماثلان متصلان بجانب منحني واحد. إنه في الواقع قضيب دائري مستقيم.
- العلبة هي مثال جيد على الأسطوانة أو بطارية AA.
احفظ صيغة حجم الأسطوانة. لحساب حجم الأسطوانة ، عليك معرفة ارتفاعها ونصف قطر قاعدتها الدائرية. نصف القطر هو المسافة من مركز الدائرة إلى الحافة. الصيغة هي V = π x r² x h ، حيث V هو الحجم و r نصف القطر و h الارتفاع و π ثابت pi.
- في معظم الحالات ، يكفي تقريب pi إلى 3.14. اسأل معلمك عما يريده.
- إن صيغة إيجاد حجم الأسطوانة هي في الواقع إلى حد كبير نفس صيغة حجم الحزمة: تضرب ارتفاع الشكل في مساحة القاعدة. في الشعاع ، مساحة القاعدة هي l x b ، مع الأسطوانة π x r² ، مساحة دائرة نصف قطرها r.
أوجد نصف قطر القاعدة. إذا تم الإشارة إليه بالفعل في الصورة ، فقم فقط بملئها. إذا حصلت على القطر بدلاً من نصف القطر ، فقط قسّمه على 2 لإيجاد نصف القطر (د = 2 × ص).
قم بقياس الشكل إذا لم يتم إعطاء نصف القطر. لاحظ أنه قد يكون من الصعب قياس نصف القطر الدقيق لدائرة. أحد الخيارات هو قياس الدائرة في أوسع نقطة بالمسطرة من أعلى إلى أسفل ، وقسمها على اثنين.
- خيار آخر هو قياس محيط الدائرة (المسافة حولها) بقطعة من الخيط أو شريط قياس. ضع النتيجة في هذه الصيغة: C (محيط) هو 2 x π x r. اقسم المحيط على 2 × π (6.28) ولديك نصف القطر.
- على سبيل المثال ، إذا كان المحيط الذي قمت بقياسه 8 سم ، فإن نصف القطر يساوي 1.27 سم.
- إذا كنت حقًا بحاجة إلى قياس دقيق ، فيمكنك استخدام أي من الطريقتين لمعرفة ما إذا كانت النتائج متطابقة. إذا لم يكن كذلك ، تحقق من ذلك مرة أخرى. عادة ما تعطي طريقة المخطط التفصيلي نتيجة أكثر دقة.
احسب مساحة الدائرة عند القاعدة. ضع نصف القطر في الصيغة π x r². اضرب نصف القطر في نفسه واضرب الناتج في π. على سبيل المثال:
- إذا كان نصف القطر 4 سم ، فإن مساحة الدائرة هي A = π × 4².
- 4² = 4 × 4 أو 16. 16 × π = 16 × 3.14 = 50.24 سم².
- إذا كان قطر القاعدة معروفًا ، فبدلًا من نصف القطر ، تذكر أن د = 2 × ص. ثم عليك قسمة القطر على اثنين لإيجاد نصف القطر.
أوجد ارتفاع الأسطوانة. هذه ببساطة هي المسافة بين القاعدتين الدائريتين ، أو المسافة من السطح الذي تستقر عليه الأسطوانة إلى قمة الأسطوانة. تحقق مما إذا كان الطول محددًا بالفعل في الصورة ، أو قم بقياسه بطريقة أخرى باستخدام المسطرة أو شريط القياس.
اضرب مساحة القاعدة في ارتفاع الأسطوانة لإيجاد الحجم. ضع القيم في الصيغة V = π x r² x h. في مثالنا نصف قطر 4 سم وارتفاع 10 سم:
- الخامس = × 4 ² × 10
- π × 4² = 50.24
- 50.24 × 10 = 502.4
- الخامس = 502.4
تذكر أن تكتب إجابتك بالسنتيمتر المكعب. في هذا المثال ، تم قياس الأسطوانة بالسنتيمتر ، لذا يجب كتابة الإجابة بالسنتيمتر المكعب: V = 502.4cm³. إذا تم قياس الأسطوانة بالأمتار ، فيجب كتابة الحجم بالمتر المربع (م).

طريقة 4 من 6: احسب حجم الهرم المنتظم

اعرف ما هو الهرم المنتظم. الهرم شكل ثلاثي الأبعاد مع مضلع كقاعدة ووجوه جانبية تتناقص إلى الأعلى (رأس الهرم). الهرم المنتظم هو هرم قاعدته مضلع منتظم ، مما يعني أن جميع الجوانب والزوايا منها مضلع متساوي.
- عادة ما يصور الهرم بمربع كقاعدة وجوانب تتناقص إلى نقطة ما ، لكن قاعدة الهرم يمكن أن تحتوي في الواقع على 5 أو 6 أو 100 جانب!
- الهرم القائم على الدائرة يسمى المخروط ، والذي سنناقشه في الطريقة التالية.
تعرف على صيغة حساب حجم الهرم المنتظم. صيغة حجم الهرم المنتظم هي V = 1/3 x w x h ، حيث b هي مساحة القاعدة ، و h هي ارتفاع الهرم ، أو المسافة العمودية من القاعدة إلى القمة.
- معادلة الأهرامات المستقيمة ، حيث يكون القمة أعلى مركز القاعدة مباشرة ، هي نفس صيغة الأهرامات المائلة ، حيث يكون الجزء العلوي بعيدًا عن المركز.
احسب مساحة القاعدة. تعتمد صيغة هذا على عدد جوانب القاعدة. في مثالنا ، القاعدة عبارة عن مربع طول ضلعه 6 سم. تذكر أن صيغة حساب مساحة المربع هي A = s². وبالتالي فإن الهرم الذي لدينا هو 6 × 6 = 36 سم².
- صيغة مساحة المثلث هي A = 1/2 x w x h ، حيث b هي القاعدة و h هي الارتفاع.
- من الممكن حساب مساحة أي مضلع منتظم بالصيغة A = 1/2 xpxa ، حيث A هي المنطقة ، و p هي المحيط و a apothem ، وهي المسافة من مركز الشكل إلى وسط أحد الجانبين. يمكنك أيضًا أن تجعل الأمر سهلاً على نفسك واستخدام حاسبة مضلعات عادية عبر الإنترنت.
أوجد ارتفاع الهرم. في معظم الحالات سيتم الإشارة إليه في الصورة. في مثالنا ، ارتفاع الهرم 10 سم.
اضرب مساحة قاعدة الهرم في الارتفاع واقسم على 3 لإيجاد الحجم. تذكر أن الصيغة هي V = 1/3 x w x h. في مثالنا ، للهرم قاعدة مساحتها 36 وارتفاعها 10 ، وبالتالي يكون الحجم 36 × 10 × 1/3 = 120.
- إذا كان لدينا هرم آخر بقاعدته 26 وارتفاعه 8 ، فإن النتيجة ستكون 1/3 × 26 × 8 = 69.33.
تذكر أن تكتب النتيجة بوحدات تكعيبية. أُعطيت أبعاد الهرم في المثال بالسنتيمتر ، لذا يجب كتابة النتيجة بالسنتيمتر المكعب ، 120 سم مكعب. إذا كانت الأبعاد بالأمتار ، تكتب الإجابة بالمتر المكعب (م³).

طريقة 5 من 6: احسب حجم المخروط

تعرف على خصائص المخروط. المخروط شكل ثلاثي الأبعاد بقاعدة دائرية ونقطة واحدة على الوجه المقابل. هناك طريقة أخرى لرؤية المخروط وهي أنه نوع خاص من الهرم ذي قاعدة دائرية.
- إذا كان رأس المخروط أعلى مركز القاعدة مباشرة ، فإنك تسميه مخروطًا مستقيمًا. إذا لم يكن أعلى المركز مباشرة ، فأنت تسميه مخروط مائل. لحسن الحظ ، فإن صيغة حساب الحجم هي نفسها لكلا النوعين من الأقماع.
تعرف على صيغة حساب حجم المخروط. هذه الصيغة هي V = 1/3 x π x r² x h ، حيث r هو نصف قطر الدائرة عند القاعدة ، h ارتفاع المخروط و π ثابت pi ، والذي يمكن تقريبه إلى 3.14.
- يشير الجزء π x r² إلى مساحة الدائرة التي تشكل قاعدة المخروط. إذن ، صيغة حجم المخروط هي 1/3 x w x h ، تمامًا مثل صيغة الهرم في الطريقة أعلاه!
احسب مساحة القاعدة الدائرية للمخروط. للقيام بذلك ، تحتاج إلى معرفة نصف قطر القاعدة ، والذي يجب الإشارة إليه في صورتك. إذا حصلت على القطر بدلاً من نصف القطر ، فما عليك سوى قسمة هذا الرقم على 2 ، لأن القطر يساوي ضعف نصف القطر (د = 2 × ص). ثم ضع نصف القطر في الصيغة A = π x r² لحساب المساحة.
- في هذا المثال ، نصف القطر يساوي 3 سم. إذا وضعناها في الصيغة ، فسنحصل على: A = π × 3².
- 3² = 3 × 3 ، أو 9 ، إذن A = π × 9.
- أ = 28.27 سم².
أوجد ارتفاع المخروط. هذه هي المسافة العمودية من قاعدة المخروط إلى الأعلى. في مثالنا ، ارتفاع المخروط 5 سم.
اضرب ارتفاع المخروط في مساحة القاعدة. في مثالنا ، مساحة القاعدة 28.27 سم² والارتفاع 5 سم ، لذا ع × ارتفاع = 28.27 × 5 = 141.35.
الآن اضرب هذه النتيجة في 1/3 (أو اقسم على 3) لتحصل على حجم المخروط. في الخطوة أعلاه ، قمنا بحساب حجم الأسطوانة ، وهي عبارة عن مخروط تكون فيه الجدران منتصبة وينتهي بها الأمر في دائرة مختلفة. يمنحك تقسيمه على 3 حجم المخروط.
- في مثالنا ، 141.35 × 1/3 = 47.12 ، حجم المخروط.
- مرة أخرى: 1/3 x π x 3² x 5 = 47.12.
تذكر أن تكتب النتيجة بوحدات تكعيبية. تم قياس المخروط بالسنتيمتر ، لذا يجب التعبير عن الحجم بالسنتيمتر المكعب: 47.12 سم مكعب.

طريقة 6 من 6: احسب حجم الكرة

تعرف على الكرة. الكرة هي شكل دائري ثلاثي الأبعاد تمامًا ، حيث تكون كل نقطة على السطح متساوية البعد عن المركز. بمعنى آخر ، إنها كرة.
تعرف على صيغة حساب حجم الكرة. الصيغة هي V = 4/3 x π x r³ (أي "أربعة أثلاث في pi مضروبًا في مكعب r") ، حيث r هو نصف قطر الكرة ، و π هو ثابت pi (3.14).
أوجد نصف قطر الكرة. إذا تم تقديم نصف القطر بالفعل في الصورة ، فسيكون ذلك سهلاً. إذا تم إعطاء القطر ، فيجب عليك قسمة هذا الرقم على 2 للحصول على نصف القطر. يبلغ نصف قطر الكرة في هذا المثال 3 سنتيمترات.
قس الكرة إذا لم يتم إعطاء نصف القطر. إذا كنت بحاجة إلى قياس كرة (مثل كرة التنس ، على سبيل المثال) للعثور على نصف القطر ، فابحث عن قطعة من الخيط طويلة بما يكفي للالتفاف حولها بالكامل. ثم لفه حول الكائن في أوسع نقطة له وحدد النقطة التي يلتقي فيها الخيط مرة أخرى. ثم قم بقياس هذا الجزء من الخيط بمسطرة لمعرفة محيط الكرة. اقسم ذلك على 2 x π أو 6.28 لتحصل على نصف القطر.
- على سبيل المثال ، إذا قمت بقياس الكرة ووجدت أن محيطها يبلغ 6 بوصات ، فاقسمها على 6 بوصات ، وأنت تعلم أن نصف القطر يساوي بوصتين.
- قد يكون قياس الكرة أمرًا صعبًا ، لذا من الأفضل قياسها ثلاث مرات ، ثم أخذ المتوسط (اجمع القياسات الثلاثة معًا واقسم على ثلاثة) لجعل القياس دقيقًا قدر الإمكان.
- على سبيل المثال ، إذا قمت بقياس ثلاث مرات وكانت النتائج 18 سم و 17.75 سم و 18.2 سم ، أضف ذلك (18 + 17.5 + 18.2 = 53.95) وقسمها على 3 (53.95 / 3 = 17.98). تستخدم هذا المتوسط في حساب الحجم.
ارفع نصف القطر للمكعب لإيجاد r³. الرفع إلى المكعب يعني ببساطة ضرب الرقم ثلاث مرات في نفسه ، لذا r³ = r x r x r. في مثالنا ، r = 3 يصبح 3 × 3 × 3 = 27.
اضرب إجابتك في 4/3. يمكنك القيام بذلك باستخدام الآلة الحاسبة ، أو القيام بذلك بنفسك وتبسيط الكسر. في مثالنا ، 27 × 4/3 = 180/3 ، أو 36.
اضرب الناتج في لإيجاد حجم الكرة. الخطوة الأخيرة في حساب الحجم هي ضرب النتيجة في by. قرب π لأقرب منزلتين عشريتين ، وهو ما يكفي لمعظم مسائل الرياضيات (ما لم يرغب معلمك بخلاف ذلك) ، لذا اضربها في 3.14 وستحصل على إجابتك.
- إذن في مثالنا يصبح 36 × 3.14 = 113.09.
اكتب إجابتك بوحدات تكعيبية. في مثالنا ، قمنا بالقياس بالسنتيمتر ، لذا فالإجابة هي V = 113.09 cm³.