المحتوى

• خطوات
• طريقة 1 من 3: كيفية إيجاد الجانب المجهول
• الطريقة 2 من 3: البحث عن زاوية غير معروفة
• طريقة 3 من 3: نموذج للمشاكل
• نصائح

تستخدم نظرية جيب التمام على نطاق واسع في علم المثلثات. يتم استخدامه عند العمل مع المثلثات غير المنتظمة لإيجاد كميات غير معروفة مثل الأضلاع والزوايا. النظرية مشابهة لنظرية فيثاغورس ويسهل تذكرها إلى حد ما. تنص نظرية جيب التمام على ذلك في أي مثلث ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.

خطوات

طريقة 1 من 3: كيفية إيجاد الجانب المجهول

1. 1 اكتب القيم المعروفة. لإيجاد الضلع المجهول للمثلث ، عليك أن تعرف الضلعين الآخرين والزاوية بينهما.
   • على سبيل المثال ، إعطاء مثلث XYZ. طول الضلع YX هو 5 سم ، والضلع YZ قياسه 9 سم ، والزاوية Y يساوي 89 درجة. ما هو جانب XZ؟
2. 2 اكتب صيغة نظرية جيب التمام. معادلة: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$، أين ${ displaystyle c}$ - حفلة غير معروفة ، ${ displaystyle cos {C}}$ - جيب تمام الزاوية المقابلة للجانب المجهول ، ${ displaystyle a}$ و ${ displaystyle b}$ - وجهان مشهوران.
3. 3 أدخل القيم المعروفة في الصيغة. المتغيرات ${ displaystyle a}$ و ${ displaystyle b}$ تشير إلى وجهين معروفين. عامل ${ displaystyle C}$ هي الزاوية المعروفة الواقعة بين الجانبين ${ displaystyle a}$ و ${ displaystyle b}$.
   • في مثالنا ، الجانب XZ غير معروف ، لذلك في الصيغة يشار إليه على أنه ${ displaystyle c}$... نظرًا لأن الجانبين YX و YZ معروفان ، يتم الإشارة إليهما بواسطة المتغيرات ${ displaystyle a}$ و ${ displaystyle b}$... عامل ${ displaystyle C}$ هي الزاوية Y. لذلك ، ستكتب الصيغة على النحو التالي: ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) cos {89}}$.
4. 4 أوجد جيب التمام لزاوية معروفة. افعل ذلك باستخدام الآلة الحاسبة. أدخل قيمة زاوية ، ثم انقر فوق ${ displaystyle COS}$... إذا لم يكن لديك آلة حاسبة علمية ، فابحث عن جدول جيب التمام على الإنترنت ، على سبيل المثال ، هنا. أيضًا في Yandex ، يمكنك إدخال "جيب التمام بدرجات X" (استبدل قيمة الزاوية بـ X) ، وسيعرض محرك البحث جيب التمام للزاوية.
   • على سبيل المثال ، جيب التمام هو 89 درجة ≈ 0.01745. وبالتالي: ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0.01745)}$.
5. 5 اضرب الأعداد. تتضاعف ${ displaystyle 2ab}$ بجيب زاوية معروفة.
   • فمثلا:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -2 (5) (9) (0.01745)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1.5707}$
6. 6 اطوِ مربعات الجوانب المعروفة. تذكر ، لتربيع رقم ، يجب ضربه في نفسه. أولاً ، قم بتربيع الأرقام المقابلة ، ثم أضف القيم الناتجة.
   • فمثلا:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 5 ^ {2} + 9 ^ {2} -1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 25 + 81-1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1.5707}$
7. 7 اطرح عددين. سوف تجد ${ displaystyle c ^ {2}}$.
   • فمثلا:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 106-1.5707}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 104.4293}$
8. 8 خذ الجذر التربيعي لهذه القيمة. للقيام بذلك ، استخدم آلة حاسبة. هذه هي الطريقة التي تجد بها الجانب المجهول.
   • فمثلا:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 104.4293}$
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {104.4293}}}$
     ${ displaystyle c = 10.2191}$
     إذن ، الضلع المجهول يساوي 10.2191 سم.

الطريقة 2 من 3: البحث عن زاوية غير معروفة

1. 1 اكتب القيم المعروفة. لإيجاد الزاوية المجهولة للمثلث ، عليك معرفة الأضلاع الثلاثة للمثلث.
   • على سبيل المثال ، إعطاء مثلث RST. الجانب CP = 8 سم ، ST = 10 سم ، PT = 12 سم ، أوجد قيمة الزاوية S.
2. 2 اكتب صيغة نظرية جيب التمام. معادلة: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$، أين ${ displaystyle cos {C}}$ - جيب التمام بزاوية غير معروفة ، ${ displaystyle c}$ - جانب معروف مقابل ركن غير معروف ، ${ displaystyle a}$ و ${ displaystyle b}$ - حزبان مشهوران آخران.
3. 3 أوجد القيم أ{ displaystyle a}, ب{ displaystyle b} و ج{ displaystyle c}. ثم أدخلها في الصيغة.
   • على سبيل المثال ، الضلع RT يقابل الزاوية المجهولة S ، وبالتالي يكون الضلع RT هو الضلع المقابل للزاوية المجهولة S ${ displaystyle c}$ في الصيغة. الأطراف الأخرى سوف ${ displaystyle a}$ و ${ displaystyle b}$... إذن ، ستكتب الصيغة على النحو التالي: ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -2 (8) (10) cos {C}}$.
4. 4 اضرب الأعداد. تتضاعف ${ displaystyle 2ab}$ بجيب الزاوية المجهولة.
   • فمثلا، ${ displaystyle 12 ^ {2} = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$.
5. 5 منتصب ج{ displaystyle c} في مربع. أي اضرب الرقم نفسه.
   • فمثلا، ${ displaystyle 144 = 8 ^ {2} + 10 ^ {2} -160 cos {C}}$
6. 6 اطوِ المربعات أ{ displaystyle a} و ب{ displaystyle b}. لكن أولاً ، قم بتربيع الأرقام المقابلة.
   • فمثلا:
     ${ displaystyle 144 = 64 + 100-160 cos {C}}$
     ${ displaystyle 144 = 164-160 cos {C}}$
7. 7 اعزل جيب تمام الزاوية المجهولة. للقيام بذلك ، اطرح المبلغ ${ displaystyle a ^ {2}}$ و ${ displaystyle b ^ {2}}$ من طرفي المعادلة. ثم قسّم كل جانب من جوانب المعادلة على العامل في جيب تمام الزاوية المجهولة.
   • على سبيل المثال ، لعزل جيب التمام لزاوية غير معروفة ، اطرح 164 من كلا طرفي المعادلة ، ثم اقسم كل جانب على -160:
     ${ displaystyle 144-164 = 164-164-160 cos {C}}$
     ${ displaystyle -20 = -160 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-20} {- 160}} = { frac {-160 cos {C}} {- 160}}}$
     ${ displaystyle 0.125 = cos {C}}$
8. 8 احسب معكوس جيب التمام. سيجد هذا قيمة الزاوية المجهولة. في الآلة الحاسبة ، يتم الإشارة إلى دالة جيب التمام المعكوسة ${ displaystyle COS ^ {- 1}}$.
   • على سبيل المثال ، قوس جيب الزاوية 0.0125 هو 82.8192. إذن ، الزاوية S تساوي 82.8192 درجة.

طريقة 3 من 3: نموذج للمشاكل

1. 1 أوجد الضلع المجهول للمثلث. الأضلاع المعروفة 20 سم و 17 سم ، والزاوية بينهما 68 درجة.
   • نظرًا لأن لديك ضلعين والزاوية بينهما ، يمكنك استخدام نظرية جيب التمام. اكتب الصيغة: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • الجانب المجهول ${ displaystyle c}$... أدخل القيم المعروفة في الصيغة: ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$.
   • احسب ${ displaystyle c ^ {2}}$، مع مراعاة ترتيب العمليات الحسابية:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) cos {68}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -2 (20) (17) (0.3746)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 20 ^ {2} + 17 ^ {2} -254.7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 400 + 289-254.7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 689-254،7325}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 434.2675}$
   • خذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة. هكذا تجد الجانب المجهول:
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {434.2675}}}$
     ${ displaystyle c = 20.8391}$
     إذن ، الضلع المجهول 20.8391 سم.
2. 2 أوجد الزاوية H في المثلث GHI. الضلعان المجاوران للزاوية H هما 22 و 16 cm ، والضلع المقابل للزاوية H يساوي 13 cm.
   • نظرًا لإعطاء الأضلاع الثلاثة ، يمكن استخدام نظرية جيب التمام. اكتب الصيغة: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • الضلع المقابل للزاوية المجهولة هو ${ displaystyle c}$... أدخل القيم المعروفة في الصيغة: ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -2 (22) (16) cos {C}}$.
   • تبسيط التعبير الناتج:
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 22 ^ {2} + 16 ^ {2} -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 13 ^ {2} = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 484 + 256 - 704 cos {C}}$
     ${ displaystyle 169 = 740-704 cos {C}}$
   • عزل جيب التمام:
     ${ displaystyle 169-740 = 740-740-704 cos {C}}$
     ${ displaystyle -571 = -704 cos {C}}$
     ${ displaystyle { frac {-571} {- 704}} = { frac {-704 cos {C}} {- 704}}}$
     ${ displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
   • أوجد جيب التمام العكسي. هذه هي طريقة حساب الزاوية المجهولة:
     ${ displaystyle 0.8111 = cos {C}}$
     ${ displaystyle 35.7985 = COS ^ {- 1}}$.
     وبالتالي ، فإن الزاوية H تساوي 35.7985 درجة.
3. 3 أوجد طول الممر. تشكل مسارات النهر والتلال والمستنقعات مثلثًا. يبلغ طول نهر تريل 3 كم ، ويبلغ طول هيللي تريل 5 كم ؛ تتقاطع هذه الممرات مع بعضها البعض بزاوية 135 درجة. يربط مسار المستنقع طرفي الممرات الأخرى. أوجد طول مسار المستنقع.
   • تشكل الممرات مثلثًا. تحتاج إلى إيجاد طول المسار المجهول ، وهو جانب المثلث. نظرًا لإعطاء أطوال المسارين الآخرين والزاوية بينهما ، يمكن استخدام نظرية جيب التمام.
   • اكتب الصيغة: ${ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab cos {C}}$.
   • سيتم الإشارة إلى المسار غير المعروف (المستنقع) على أنه ${ displaystyle c}$... أدخل القيم المعروفة في الصيغة: ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$.
   • احسب ${ displaystyle c ^ {2}}$:
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) cos {135}}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} -2 (3) (5) (- 0.7071)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 3 ^ {2} + 5 ^ {2} - (- 21.2132)}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 9 + 25 + 21.2132}$
     ${ displaystyle c ^ {2} = 55.2132}$
   • خذ الجذر التربيعي لطرفي المعادلة. هذه هي الطريقة التي تجد بها طول المسار غير المعروف:
     ${ displaystyle { sqrt {c ^ {2}}} = { sqrt {55.2132}}}$
     ${ displaystyle c = 7.4306}$
     لذلك ، يبلغ طول مسار المستنقع 7.4306 كم.

نصائح

• من الأسهل استخدام نظرية الجيب. لذلك ، اكتشف أولاً ما إذا كان يمكن تطبيقه على المشكلة المحددة.