المحتوى

• خطوات
• جزء 1 من 2: إيجاد العوامل الأولية
• جزء 2 من 2: استخدام العوامل الأولية
• أمثلة على المهام
• نصائح
• تحذيرات

يمكن أن يتحلل أي عدد طبيعي إلى حاصل ضرب العوامل الأولية. إذا كنت لا تحب التعامل مع الأرقام الكبيرة مثل 5733 ، فتعلم كيفية تحليلها (في هذه الحالة ، 3 × 3 × 7 × 7 × 13). غالبًا ما يتم مواجهة مهمة مماثلة في التشفير ، والتي تتعامل مع مشاكل أمن المعلومات. إذا لم تكن مستعدًا لإنشاء نظام بريد إلكتروني آمن خاص بك بعد ، فتعرف على كيفية تحليل الأرقام أولاً.

خطوات

جزء 1 من 2: إيجاد العوامل الأولية

1. 1 تعلم ما هو العوملة. إن تحلل الرقم إلى منتج العوامل هو عملية "تقسيمه" إلى أجزاء أصغر.عند ضرب هذه الأجزاء أو العوامل ، أعط الرقم الأصلي.
   • على سبيل المثال ، يمكن أن يتحلل الرقم 18 إلى المنتجات التالية: 1 × 18 أو 2 × 9 أو 3 × 6.
2. 2 تذكر ما هي الأعداد الأولية. الرقم الأولي قابل للقسمة على رقمين فقط بدون باقي: بمفرده وعلى 1. على سبيل المثال ، يمكن تمثيل الرقم 5 كمنتج 5 و 1. لا يمكن تحليل هذا الرقم إلى عوامل أخرى. الغرض من تحليل رقم إلى عوامل أولية هو تمثيله كمنتج للأعداد الأولية. هذا مفيد بشكل خاص عند التعامل مع الكسور ، حيث يسمح لك بمقارنتها وتبسيطها.
3. 3 ابدأ بالرقم الأصلي. اختر رقمًا مركبًا أكبر من 3. ليس من المنطقي أن تأخذ عددًا أوليًا ، لأنه لا يقبل القسمة إلا على نفسه وعلى واحد.
   • مثال: لنحلل الرقم 24 في حاصل ضرب الأعداد الأولية.
4. 4 دعونا نقسم هذا الرقم إلى حاصل ضرب عاملين. أوجد عددين أصغر حاصل ضربهما الرقم الأصلي. يمكن استخدام أي عامل ، لكن من الأسهل أخذ الأعداد الأولية. إحدى الطرق الجيدة هي محاولة قسمة الرقم الأصلي أولاً على 2 ، ثم على 3 ، ثم على 5 ، والتحقق من أي من هذه الأعداد الأولية يقسم دون باقي.
   • مثال: إذا كنت لا تعرف عوامل العدد 24 ، فحاول تقسيمها على أعداد أولية صغيرة. لذلك ستجد أن الرقم المعطى يقبل القسمة على 2: 24 = 2 × 12... هذه بداية جيدة.
   • بما أن 2 عدد أولي ، فمن الجيد استخدامه عند تحليل الأعداد الزوجية.
5. 5 ابدأ في بناء شجرة المضاعف. سيساعدك هذا الإجراء البسيط في تحليل الرقم. بادئ ذي بدء ، اسحب "فرعين" من الرقم الأصلي. اكتب العوامل الموجودة في نهاية كل فرع.
   • مثال:
   •    24
   •     /
   • 2    12
6. 6 حلل الصف التالي من الأرقام إلى عوامل. ألق نظرة على الرقمين الجديدين (الصف الثاني من شجرة المضاعف). هل كلاهما عدد أولي؟ إذا لم يكن أحدهم بسيطًا ، فقم أيضًا بتحليله بواسطة عاملين. اصنع فرعين آخرين واكتب عاملين جديدين في السطر الثالث من الشجرة.
   • مثال: 12 ليس عددًا أوليًا ، لذا يجب تحليله إلى عوامل. استخدم التحليل 12 = 2 × 6 واكتبه في السطر الثالث من الشجرة:
   •    24
   •     /
   • 2   12
   •        /
   • 2 × 6
7. 7 تواصل أسفل الشجرة. إذا تبين أن أحد العوامل الجديدة عدد أولي ، اسحب منه "فرعًا" واكتب نفس الرقم في نهايته. لا يمكن توسيع الأعداد الأولية إلى عوامل أصغر ، لذلك فقط حركها إلى مستوى أدنى.
   • مثال: 2 عدد أولي. ما عليك سوى تحريك 2 من السطر الثاني إلى السطر الثالث:
   •      24
   •       /
   •    2   12
   •   /       /
   • 2     2   6
8. 8 استمر في تحليل الأرقام حتى يتبقى لك الأعداد الأولية فقط. تحقق من كل سطر جديد من الشجرة. إذا لم يكن أحد العوامل الجديدة على الأقل عددًا أوليًا ، فاعمل على تحليله واكتب سطرًا جديدًا. في النهاية ، ستبقى مع الأعداد الأولية فقط.
   • مثال: 6 ليس عددًا أوليًا ، لذا يجب تحليله أيضًا. في نفس الوقت ، 2 عدد أولي ، وننقل الاثنين إلى المستوى التالي:
   •         24
   •          /
   •       2    12
   •      /       /
   •    2     2    6
   •   /      /      /
   • 2     2      2   3
9. 9 اكتب السطر الأخير كمنتج للعوامل الأولية. في النهاية ، ستبقى مع الأعداد الأولية فقط. عندما يحدث هذا ، يكون العامل الأولي قد اكتمل. السطر الأخير عبارة عن مجموعة من الأعداد الأولية ، ينتج عنها الرقم الأصلي.
   • تحقق من إجابتك: اضرب الأرقام في السطر الأخير. يجب أن تكون النتيجة هي الرقم الأصلي.
   • مثال: يحتوي الصف الأخير من شجرة العوامل على الرقمين 2 و 3. كلا الرقمين أوليان ، لذلك اكتمل التحلل. وبالتالي ، فإن التحليل الأولي لـ 24 له الشكل التالي: 24 = 2 × 2 × 2 × 3.
   • لا يهم ترتيب العوامل. يمكن أيضًا كتابة التحلل كـ 2 × 3 × 2 × 2.
10. 10 قم بتبسيط إجابتك باستخدام التدوين الأسي ، إذا رغبت في ذلك. إذا كنت معتادًا على طريقة أس الأعداد ، يمكنك كتابة الإجابة بشكل أبسط.تذكر أن القاعدة مكتوبة في الأسفل ، والرقم المرتفع يشير إلى عدد مرات ضرب هذه القاعدة في نفسها.
    • مثال: كم مرة يظهر الرقم 2 في التحلل الموجود 2 × 2 × 2 × 3؟ ثلاث مرات ، لذا يمكن كتابة التعبير 2 × 2 × 2 في صورة 2. في التدوين المبسط ، نحصل على 2 × 3.

جزء 2 من 2: استخدام العوامل الأولية

1. 1 أوجد القاسم المشترك الأكبر لعددين. القاسم المشترك الأكبر (GCD) لرقمين هو الحد الأقصى للعدد الذي يقبل به كلا الرقمين بدون باقي. يوضح المثال أدناه كيفية استخدام التحليل الأولي لإيجاد القاسم المشترك الأكبر بين 30 و 36.
   • دعنا نحلل كلا العددين في العوامل الأولية. بالنسبة إلى 30 ، يكون التحليل إلى عوامل 2 × 3 × 5. ويتحلل الرقم 36 إلى عوامل أولية على النحو التالي: 2 × 2 × 3 × 3.
   • لنجد العدد الذي يحدث في كلا التمدين. لنشطب هذا الرقم في كلتا القائمتين ونكتبه في سطر جديد. على سبيل المثال ، 2 تحدث في توسيعين ، لذلك نكتب 2 على سطر جديد. بعد ذلك ، لدينا 30 = 2 × 3 × 5 و 36 = 2 × 2 × 3 × 3.
   • كرر هذه الخطوة حتى لا يتبقى أي عوامل مشتركة في التوسعات. تتضمن كلتا القائمتين أيضًا الرقم 3 ، لذا يمكنك الكتابة في سطر جديد 2 و 3... ثم قارن بين التوسعات مرة أخرى: 30 = 2 × 3 س 5 و 36 = 2 × 2 × 3 x 3. كما ترى ، لا توجد عوامل مشتركة متبقية فيها.
   • لإيجاد العامل المشترك الأكبر ، أوجد حاصل ضرب كل العوامل المشتركة. في مثالنا ، هذان هما 2 و 3 ، لذا فإن gcd هو 2 × 3 = 6... هذا هو أكبر عدد يقسم العددين بالتساوي 30 و 36.
2. 2 بمساعدة GCD ، يمكنك تبسيط الكسور. إذا كنت تشك في إمكانية إلغاء كسر ما ، فاستخدم العامل المشترك الأكبر. ابحث عن GCD للبسط والمقام باستخدام الإجراء أعلاه. ثم اقسم بسط الكسر ومقامه على هذا الرقم. نتيجة لذلك ، تحصل على نفس الكسر بصيغة أبسط.
   • على سبيل المثال ، لنبسط الكسر /₃₆... كما ذكرنا أعلاه ، بالنسبة لـ 30 و 36 ، فإن GCD هو 6 ، لذلك نقسم البسط والمقام على 6:
   • 30 ÷ 6 = 5
   • 36 ÷ 6 = 6
   • /₃₆ = /₆
3. 3 أوجد المضاعف المشترك الأصغر لرقمين. المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لرقمين هو أصغر رقم يقبل القسمة بالتساوي على كلا الرقمين. على سبيل المثال ، المضاعف المشترك الأصغر للعددين 2 و 3 هو 6 لأنه أصغر رقم يمكن أن يقبل القسمة على 2 و 3. أدناه مثال لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر باستخدام التحليل الأولي:
   • لنبدأ مع اثنين من العوامل الأولية. على سبيل المثال ، بالنسبة لـ 126 ، يمكن كتابة التحليل على النحو التالي: 2 × 3 × 3 × 7. يمكن تحليل الرقم 84 إلى عوامل أولية على النحو 2 × 2 × 3 × 7.
   • دعونا نقارن عدد مرات حدوث كل عامل في التوسعات. حدد القائمة التي يحدث فيها المضاعف لأقصى عدد من المرات ، وقم بوضع دائرة حول هذا المكان. على سبيل المثال ، يظهر الرقم 2 مرة واحدة في توسيع 126 ومرتين في قائمة 84 ، لذا يجب أن تضع دائرة 2 × 2 في القائمة الثانية من العوامل.
   • كرر هذه الخطوة لكل مضاعف. على سبيل المثال ، 3 أكثر شيوعًا في التوسيع الأول ، لذا يجب أن تضع دائرة حوله 3 × 3... يظهر الرقم 7 مرة واحدة في كلتا القائمتين ، لذلك نقوم بدائرة 7 (لا يهم في أي قائمة ، إذا كان العامل المحدد يحدث في كلتا القائمتين بنفس عدد المرات).
   • لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر ، اضرب كل الأعداد المحاطة بدائرة. في مثالنا ، المضاعف المشترك الأصغر بين 126 و 84 هو 2 × 2 × 3 × 3 × 7 = 252... هذا هو أصغر عدد يقبل القسمة على 126 و 84 بدون الباقي.
4. 4 استخدم المضاعف المشترك الأصغر لجمع الكسور. عند جمع كسرين ، من الضروري إحضارهم إلى قاسم مشترك. للقيام بذلك ، أوجد المضاعف المشترك الأصغر للمقامرين. ثم اضرب بسط ومقام كل كسر في رقم بحيث تكون مقامات الكسور مساوية للمضاعف المشترك الأصغر. بعد ذلك ، يمكنك جمع الكسور.
   • على سبيل المثال ، تحتاج إلى إيجاد المبلغ /₆ + /₂₁.
   • باستخدام الطريقة الموضحة أعلاه ، يمكنك إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لـ 6 و 21. وهو 42.
   • نقوم بتحويل الكسر /₆ حتى يكون مقامه 42. للقيام بذلك ، عليك قسمة 42 على 6: 42 ÷ 6 = 7. الآن اضرب بسط ومقام الكسر في 7: /₆ x /₇ = /₄₂.
   • لإحضار الكسر الثاني إلى المقام 42 ، اقسم 42 على 21: 42 ÷ 21 = 2. اضرب بسط ومقام الكسر في 2: /₂₁ x /₂ = /₄₂.
   • بعد اختزال الكسور إلى نفس المقام ، يمكن إضافتها بسهولة: /₄₂ + /₄₂ = /₄₂.

أمثلة على المهام

• حاول حل المشاكل أدناه بنفسك.إذا كنت تعتقد أنك تلقيت الإجابة الصحيحة ، فحدّد بالماوس المكان بعد النقطتين في بيان المشكلة. المهام الأخيرة هي الأصعب.
• أوجد التحليل الأولي لـ 16: 2 x 2 x 2 x 2
• اكتب إجابتك بالصيغة الأسية: 2
• أوجد التحليل الأولي لـ 45: 3 × 3 × 5
• اكتب إجابتك بالصيغة الأسية: 3 × 5
• أوجد التحليل الأولي لـ 34: 2 × 17
• أوجد التحليل الأولي لـ 154: 2 × 7 × 11
• أوجد التحليل الأولي للعددين 8 و 40 ، ثم حدد العامل المشترك الأكبر بينهما: التحليل الأولي لـ 8 هو 2 × 2 × 2 × 2 ؛ التحليل الأولي لـ 40 هو 2 × 2 × 2 × 5 ؛ GCD من رقمين 2 × 2 × 2 = 6.
• أوجد التحليل الأولي لـ 18 و 52 وابحث عن المضاعف المشترك الأصغر لهما: التحليل الأولي لـ 18 هو 2 × 3 × 3 ؛ التحليل الأولي لـ 52 هو 2 × 2 × 13 ؛ المضاعف المشترك الأصغر لرقمين هو 2 × 2 × 3 × 3 × 13 = 468.

نصائح

• كل رقم له خاصية تحليل فريدة له. لا يهم كيف تجد هذا التوسيع ، يجب أن ينتهي بك الأمر بنفس الإجابة. وهذا ما يسمى النظرية الأساسية في الحساب.
• بدلاً من إعادة كتابة الأعداد الأولية على سطر جديد من شجرة العوامل في كل مرة ، يمكنك تركها في مكانها ووضع دائرة حولها ببساطة. في نهاية التوسعة ، ستشمل جميع العوامل الأولية المحاطة بدائرة.
• تحقق دائمًا من الإجابة التي تتلقاها. يمكنك أن تخطئ ولا تلاحظه.
• استعد للمهام الصعبة. إذا طُلب منك إيجاد عامل أولي لعدد أولي ، فلا داعي لإجراء أي حسابات. على سبيل المثال ، بالنسبة للرقم 17 ، فإن العوامل الأولية هي 17 ؛ لا يمكن أن يتحلل هذا الرقم إلى عوامل أولية أخرى.
• يمكن إيجاد العامل المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر.

تحذيرات

• تسمح لك شجرة المضاعف بتحديد العوامل الأولية فقط ، وليس كل العوامل الممكنة.