المحتوى

• لتخطو
• البداية
• الطريقة 1 من 6: التجربة والخطأ
• طريقة 2 من 6: التحلل
• طريقة 3 من 6: اللعب الثلاثي
• طريقة 4 من 6: الفرق بين مربعين
• طريقة 5 من 6: صيغة ABC
• طريقة 6 من 6: استخدام الآلة الحاسبة
• نصائح
• تحذيرات
• الضرورات

كثير الحدود يحتوي على متغير (س) لقوة معينة والعديد من المصطلحات و / أو الثوابت. لتحليل كثير الحدود إلى عوامل ، سيتعين عليك تقسيم التعبير إلى تعبيرات أصغر يتم ضربها معًا. هذا يتطلب مستوى معينًا من الرياضيات وبالتالي قد يكون من الصعب فهمه إذا لم تكن قد وصلت إلى هذا الحد بعد.

لتخطو

البداية

1. المعادلة. التنسيق القياسي للمعادلة التربيعية هو:
   
   الفأس + ب س + ج = 0
   ابدأ بترتيب الحدود في المعادلة من الأعلى إلى الأقل قوة. على سبيل المثال ، خذ:
   
   6 + 6 س + 13 س = 0
   سنقوم بإعادة ترتيب هذا التعبير حتى يصبح التعامل معه أسهل - ببساطة عن طريق تحريك المصطلحات:
   
   6 س + 13 س + 6 = 0
2. ابحث عن العوامل باستخدام إحدى الطرق أدناه. سيؤدي تحليل كثير الحدود إلى تعبيرين أصغر يمكن ضربهما معًا للحصول على كثير الحدود الأصلي:
   
   6 س + 13 س + 6 = (2 س + 3) (3 س + 2)
   في هذا المثال ، (2x +3) و (3x + 2) هي عوامل من التعبير الأصلي 6x + 13x + 6.
3. تحقق من عملك! اضرب العوامل التي وجدتها. اجمع بين نفس المصطلحات وانتهى الأمر. أبدا ب:
   
   (2x + 3) (3x + 2)
   دعنا نختبر هذا ، بضرب المصطلحات باستخدام EBBL (الأول - الخارجي - الداخلي - الأخير) ، والذي يعطينا:
   
   6 س + 4 س + 9 س + 6
   نجمع الآن 4x و 9x معًا لأنهما حدين متساويين. نعلم أن العوامل صحيحة لأننا استرجعنا المعادلة التي بدأنا بها:
   
   6 س + 13 س + 6

الطريقة 1 من 6: التجربة والخطأ

إذا كان لديك كثير حدود بسيط إلى حد ما ، فقد تتمكن من معرفة العوامل على الفور. على سبيل المثال ، بعد بعض الممارسات ، يستطيع العديد من علماء الرياضيات رؤية التعبير 4x + 4x + 1 له العوامل (2x + 1) و (2x + 1) لمجرد أنهم رأوا هذا مرات عديدة. (من الواضح أن هذا لن يكون بهذه السهولة مع كثيرات الحدود الأكثر تعقيدًا.) لنأخذ تعبيرًا أقل معيارًا لهذا المثال:

3 س + 2 س - 8

1. اكتب عوامل أ مصطلح و ج مصطلح. استخدم التنسيق الفأس + ب س + ج = 0، تعرف على أ و ج المصطلحات ولاحظ العوامل الموجودة. بالنسبة إلى 3x + 2x - 8 ، فهذا يعني:
   
   أ = 3 ولها زوج واحد من العوامل: 1 * 3
   ج = -8 وهذا يحتوي على 4 أزواج من العوامل: -2 * 4 ، -4 * 2 ، -8 * 1 ، و -1 * 8.
2. اكتب زوجين من الأقواس بمسافة فارغة. هنا تقوم بإدخال ثوابت كل تعبير:
   
   (خ) (خ)
3. املأ الفراغ قبل علامة x بعدد من العوامل المحتملة لـ أ القيمة. بالنسبة إلى أ مصطلح في مثالنا ، 3x ، هناك احتمال واحد فقط:
   
   (3x) (1x)
4. املأ الفراغين بعد علامة x ببعض العوامل للثوابت. لنفترض أننا اخترنا 8 و 1. أدخل هذا:
   
   (3x8) (X1)
5. حدد العلامات (زائد أو ناقص) التي يجب أن تكون بين متغيرات x والأرقام. اعتمادًا على أحرف التعبير الأصلي ، من الممكن معرفة ما يجب أن تكون عليه أحرف الثوابت. لنأخذ ثوابت العاملين ح و ك ذكر:
   
   إذا كانت ax + bx + c ، فإن (x + h) (x + k)
   إذا كانت ax - bx - c أو ax + bx - c ثم (x - h) (x + k)
   إذا كانت الفأس - bx + c ، فإن (x - h) (x - k)
   في مثالنا ، 3x + 2x - 8 ، العلامة هي: (x - h) (x + k) ، مما يعطينا العاملين التاليين:
   
   (3x + 8) و (x - 1)
6. اختبر اختيارك باستخدام الضرب الأول - الخارجي - الداخلي - الأخير. اختبار سريع أول لمعرفة ما إذا كان الحد الأوسط هو القيمة الصحيحة على الأقل. إذا لم يكن الأمر كذلك ، فمن المحتمل أن يكون لديك الخطأ ج العوامل المختارة. دعنا نختبر الإجابة:
   
   (3x + 8) (x - 1)
   بالضرب نحصل على:
   
   3 س - 3 س + 8 س - 8
   بسّط هذا التعبير بإضافة الحدود المتشابهة (-3x) و (8x) ، ونحصل على:
   
   3 س - 3 س + 8 س - 8 = 3 س + 5 س - 8
   نحن نعلم الآن أننا أخذنا العوامل الخاطئة:
   
   3 س + 5 س - 8 3 س + 2 س - 8
7. قم بتبديل اختياراتك ، إذا لزم الأمر. في مثالنا ، لنجرب 2 و 4 ، بدلاً من 1 و 8:
   
   (3x + 2) (x - 4)
   الآن لدينا ج المصطلح يساوي -8 ، ولكن الناتج الخارجي / الداخلي لـ (3x * -4) و (2 * x) هو -12x و 2x ، وهذا ليس صحيحًا ب مصطلح أو + 2x.
   
   -12 س + 2 س = 10 س
   10x ≠ 2x
8. اعكس الترتيب إذا لزم الأمر. دعنا نحاول قلب 2 و 4:
   
   (3x + 4) (x - 2)
   الآن لدينا ج المصطلح (4 * 2 = 8) ولا يزال على ما يرام ، لكن المنتجات الخارجية / الداخلية هي -6x و 4x. عندما نجمع هذه نحصل على:
   
   -6 س + 4 س = 2 س
   2x ≠ -2x نقترب الآن من 2x حيث نريد أن نكون ، لكن الإشارة ليست صحيحة بعد.
9. تحقق مرة أخرى من الشخصيات الخاصة بك إذا لزم الأمر. نحافظ على هذا الأمر ، لكن نستبدله بعلامة الطرح:
   
   (3x - 4) (x + 2)
   الآن ج المصطلح لا يزال على ما يرام ، والمنتجات الخارجية / الداخلية الآن (6x) و (-4x). لأن:
   
   6 س - 4 س = 2 س
   2x = 2x نرى الآن 2x الموجب يعود من المشكلة الأصلية. يجب أن تكون هذه العوامل الصحيحة.

طريقة 2 من 6: التحلل

هذه الطريقة تعطي كل العوامل الممكنة لذلك أ و ج المصطلحات ويستخدمها لمعرفة العوامل الصحيحة. إذا كانت الأرقام كبيرة جدًا ، أو إذا استغرق تخمين الطرق الأخرى وقتًا طويلاً ، فاستخدم هذه الطريقة. مثال:

6 س + 13 س + 6

1. اضرب أ مصطلح مع ج مصطلح. في هذا المثال، أ هو 6 و ج هو أيضا 6.
   
   6 * 6 = 36
2. أعثر على ب المصطلح حسب العوامل والاختبار. نحن نبحث عن رقمين يمثلان عوامل أ * ج ومعا ب المدى (13).
   
   4 * 9 = 36
   4 + 9 = 13
3. استبدل العددين اللذين حصلت عليهما في المعادلة كمجموع لـ ب مصطلح. دعونا ك و ح لتمثيل الرقمين اللذين لدينا ، 4 و 9:
   
   الفأس + kx + hx + c
   6 س + 4 س + 9 س + 6
4. حلل كثير الحدود إلى عوامل بالتجميع. نظم المعادلة بحيث يمكنك فصل القاسم المشترك الأكبر لأول حدين عن آخر حدين. يجب أن يكون كلا العاملين نفس الشيء. أضف GGDs معًا وضعها بين قوسين بجوار العوامل ؛ ونتيجة لذلك تحصل على عاملين:
   
   6 س + 4 س + 9 س + 6
   2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
   (2x + 3) (3x + 2)

طريقة 3 من 6: اللعب الثلاثي

على غرار طريقة التحلل. تفحص طريقة "اللعب الثلاثي" العوامل المحتملة لمنتج أ و ج واستخدمه لمعرفة ماذا ب يجب أن. خذ المعادلة كمثال:

8x + 10x + 2

1. اضرب أ مصطلح مع ج مصطلح. كما هو الحال مع طريقة التحلل ، نستخدم هذا لتحديد المرشحين لـ ب مصطلح. في هذا المثال: أ هو 8 و ج هو 2.
   
   8 * 2 = 16
2. أوجد العددين اللذين يكون هذا الرقم حاصل ضربهما ومجموعهما يساوي ب مصطلح. هذه الخطوة هي نفس طريقة التحليل - نقوم باختبار العناصر المرشحة للثوابت. نتج أ و ج حيث هو 16 ، و ج المدة 10:
   
   2 * 8 = 16
   8 + 2 = 10
3. خذ هذين الرقمين واستبدلهما في صيغة "اللعب الثلاثي". خذ الرقمين من الخطوة السابقة - دعنا نحصل عليهم ح و ك اتصل بهم - وضعهم في التعبير:
   
   ((فأس + ح) (فأس + ك)) / أ
   
   بهذا نحصل على:
   
   ((8x + 8) (8x + 2)) / 8
4. اعرف أي حدين في المقام يمكن قسمة كاملة عليهما أ. في هذا المثال ، ننظر إلى ما إذا كان (8x + 8) أو (8x + 2) يمكن القسمة على 8. (8x + 8) قابلة للقسمة على 8 ، لذلك نقسم هذا الحد على أ ونترك الآخر دون أن يتأثر.
   
   (8 س + 8) = 8 (س + 1)
   المصطلح الذي احتفظنا به هنا هو المصطلح المتبقي بعد القسمة على أ المصطلح: (x + 1)
5. خذ القاسم المشترك الأكبر (gcd) من أحد أو كلا المصطلحين ، إن أمكن. في هذا المثال ، نرى أن الحد الثاني له gcd 2 ، لأن 8x + 2 = 2 (4x + 1). ادمج هذه الإجابة مع المصطلح الذي اكتشفته في الخطوة السابقة. هذه هي عوامل المقارنة الخاصة بك.
   
   2 (x + 1) (4x + 1)

طريقة 4 من 6: الفرق بين مربعين

يمكنك التعرف على بعض المعاملات في كثير الحدود على أنها "مربعات" ، أو أيضًا كحاصل ضرب رقمين متطابقين. من خلال تحديد المربعات ، قد تتمكن من تحليل كثيرات الحدود بشكل أسرع. نأخذ المعادلة:

27 س - 12 = 0

1. قم بإزالة gcd من المعادلة ، إن أمكن. في هذه الحالة ، نرى أن كلاً من 27 و 12 يقبل القسمة على 3 ، لذلك يمكننا وضعهما بشكل منفصل:
   
   27 × - 12 = 3 (9 × - 4)
2. حدد ما إذا كانت معاملات المعادلة مربعات. لاستخدام هذه الطريقة ، من الضروري تحديد جذر المصطلحات. (لاحظ أننا حذفنا علامات الطرح - نظرًا لأن هذه الأرقام مربعة ، فقد تكون نتاج رقمين سالبين)
   
   9 س = 3 س * 3 س و 4 = 2 * 2
3. باستخدام الجذر التربيعي الذي حددته ، يمكنك الآن كتابة العوامل. نأخذ أ و ج القيم من الخطوة السابقة: أ = 9 و ج = 4 ، إذًا جذور هذا هي: - √أ = 3 وج = 2. هذه هي معاملات التعبيرات المصنفة إلى عوامل:
   
   27 س - 12 = 3 (9 س - 4) = 3 (3 س + 2) (3 س - 2)

طريقة 5 من 6: صيغة ABC

إذا لم ينجح شيء ولا يمكنك حل المعادلة ، فاستخدم صيغة abc. خذ المثال التالي:

س + 4x + 1 = 0

1. أدخل القيم المقابلة في صيغة abc:
   
   س = -ب ± √ (ب - 4 أسي)
         ---------------------
   2 أ
   نحصل الآن على التعبير:
   
   س = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2
2. حل ل x. يجب أن تحصل الآن على قيمتين لـ x. هؤلاء هم:
   
   
   س = -2 + (3) أو س = -2 - (3)
3. استخدم قيم x لتحديد العوامل. أدخل قيم x التي تم الحصول عليها في المعادلتين كثوابت. هذه هي العوامل الخاصة بك. إذا أجبنا على الاثنين ح و ك نكتب العاملين على النحو التالي:
   
   (س - ح) (س - ك)
   في هذه الحالة ، الجواب النهائي هو:
   
   (س - (-2 + (3)) (س - (-2 - √ (3)) = (س + 2 - √ (3)) (س + 2 + (3))

طريقة 6 من 6: استخدام الآلة الحاسبة

إذا كان مسموحًا (أو إلزاميًا) باستخدام آلة حاسبة للرسوم البيانية ، فهذا يجعل العوملة أسهل كثيرًا ، خاصةً في الامتحانات والامتحانات. الإرشادات التالية مخصصة لآلة حاسبة الرسوم البيانية لمؤشر التجارة الدولية. نستخدم المعادلة من المثال:

ص = س - س - 2

1. أدخل المعادلة في الآلة الحاسبة الخاصة بك. ستستخدم برنامج حل المعادلات ، المعروف أيضًا باسم شاشة [Y =].
2. ارسم المعادلة بالآلة الحاسبة. بمجرد إدخال المعادلة ، اضغط على [GRAPH] - يجب أن ترى الآن خطًا منحنيًا ، القطع المكافئ كتمثيل رسومي لمعادلتك (وهو قطع مكافئ لأننا نتعامل مع كثير الحدود).
3. أوجد مكان تقاطع القطع المكافئ مع المحور x. نظرًا لأن المعادلة التربيعية تُكتب تقليديًا كـ ax + bx + c = 0 ، فهذان هما قيمتا x اللتان تجعلان المعادلة مساوية للصفر:
   
   (-1, 0), (2 , 0)
   س = -1 ، س = 2
   • إذا لم تتمكن من رؤية مكان تقاطع القطع المكافئ مع المحور x ، فاضغط على [2nd] ثم [TRACE]. اضغط [2] أو حدد "صفر". حرك المؤشر إلى يسار التقاطع واضغط على [ENTER]. حرك المؤشر إلى يمين التقاطع واضغط على [ENTER]. حرك المؤشر بالقرب من نقطة التقاطع قدر الإمكان واضغط على [ENTER]. ستشير الآلة الحاسبة إلى قيمة x. افعل ذلك مع التقاطع الآخر أيضًا.
4. أدخل قيم x التي حصلت عليها في التعبيرين المحللين إلى عوامل. إذا أخذنا قيمتي x ح و ك كمصطلح ، يبدو التعبير الذي نستخدمه كما يلي:
   
   (س - ح) (س - ك) = 0
   إذن يصبح العاملان لدينا:
   
   (س - (-1)) (س - 2) = (س + 1) (س - 2)

نصائح

• إذا قمت بتحليل كثير الحدود إلى عوامل باستخدام صيغة abc ، وكانت إجابتك تحتوي على جذور ، فيمكنك تحويل قيم x إلى كسور للتحقق منها.
• إذا لم يكن للمصطلح معامل قبله ، فإن المعامل يساوي 1 ، على سبيل المثال x = 1x.
• إذا كان لديك آلة حاسبة TI-84 ، فهناك برنامج يسمى SOLVER يمكنه حل معادلة تربيعية نيابة عنك. كما أنه يحل كثيرات الحدود من الدرجة العالية.
• بعد الكثير من التدريب ، ستتمكن في النهاية من حل كثيرات الحدود عن ظهر قلب. لكن لكي تكون في الجانب الآمن ، من الأفضل دائمًا كتابتها.
• إذا كان المصطلح غير موجود ، فإن المعامل هو صفر. ثم قد يكون من المفيد إعادة كتابة المعادلة. على سبيل المثال س + 6 = س + 0 × + 6.

تحذيرات

• إذا كنت تتعلم هذا المفهوم في فصل الرياضيات ، انتبه لما يشرح لك المعلم ولا تستخدم طريقتك المفضلة فقط. قد يُطلب منك استخدام طريقة محددة للاختبار ، أو قد لا يُسمح باستخدام حاسبات الرسوم البيانية.

الضرورات

• قلم
• ورق
• المعادلة التربيعية (وتسمى أيضًا معادلة الدرجة الثانية)
• حاسبة الرسوم البيانية (اختياري)