المحتوى

• خطوات
• طريقة 1 من 3: تحليل المعادلة
• طريقة 2 من 3: استخدام الصيغة التربيعية
• طريقة 3 من 3: إكمال المربع
• نصائح

المعادلة التربيعية هي معادلة يكون فيها أكبر قوة للمتغير هو 2. هناك ثلاث طرق رئيسية لحل المعادلات التربيعية: إذا أمكن ، حلل المعادلة التربيعية أو استخدم الصيغة التربيعية أو أكمل المربع. هل تريد أن تعرف كيف يتم كل هذا؟ واصل القراءة.

خطوات

طريقة 1 من 3: تحليل المعادلة

1. 1 أضف جميع العناصر المتشابهة وانقلها إلى جانب واحد من المعادلة. ستكون هذه هي الخطوة الأولى ، بمعنى ${ displaystyle x ^ {2}}$ في هذه الحالة ، يجب أن تظل إيجابية. اجمع أو اطرح كل القيم ${ displaystyle x ^ {2}}$, ${ displaystyle x}$ وثابت ، ينقل كل شيء إلى جزء ويترك 0 في الآخر. هيريس كيفية القيام بذلك:
   • ${ displaystyle 2x ^ {2} -8x-4 = 3x-x ^ {2}}$
   • ${ displaystyle 2x ^ {2} + x ^ {2} -8x-3x-4 = 0}$
   • ${ displaystyle 3x ^ {2} -11x-4 = 0}$
2. 2 حلل التعبير. للقيام بذلك ، تحتاج إلى استخدام القيم ${ displaystyle x ^ {2}}$ (3) ، قيم ثابتة (-4) ، يجب ضربها وتشكيل -11. هيريس كيفية القيام بذلك:
   • ${ displaystyle 3x ^ {2}}$ لديه عاملين محتملين فقط: ${ displaystyle 3x}$ و ${ displaystyle x}$حتى يمكن كتابتها بين قوسين: ${ displaystyle (3x pm؟) (x pm؟) = 0}$.
   • بعد ذلك ، بالتعويض عن عوامل 4 ، نجد المجموعة التي عند ضربها نحصل على -11x. يمكنك استخدام توليفة من 4 و 1 ، أو 2 و 2 ، لأن كلاهما يعطي 4. تذكر أن القيم يجب أن تكون سالبة ، لأن لدينا -4.
   • من خلال التجربة والخطأ ، تحصل على الجمع ${ displaystyle (3x + 1) (x-4)}$... عند الضرب ، نحصل على ${ displaystyle 3x ^ {2} -12x + x-4}$... عن طريق الاتصال ${ displaystyle -12x}$ و ${ displaystyle x}$، نحصل على المدى المتوسط ${ displaystyle -11x}$الذي كنا نبحث عنه. تم تحليل المعادلة التربيعية إلى عوامل.
   • على سبيل المثال ، لنجرب تركيبة غير مناسبة: (${ displaystyle (3x-2) (x + 2)}$ = ${ displaystyle 3x ^ {2} + 6x-2x-4}$... الجمع ، نحصل ${ displaystyle 3x ^ {2} -4x-4}$... على الرغم من أن العوامل -2 و 2 تتضاعف إلى -4 ، إلا أن الحد الأوسط لا يعمل ، لأننا أردنا الحصول عليه ${ displaystyle -11x}$، لكن لا ${ displaystyle -4x}$.
3. 3 قم بمساواة كل تعبير بين قوسين بالصفر (كمعادلات منفصلة). هذه هي الطريقة التي نجد بها معنيين ${ displaystyle x}$حيث المعادلة بأكملها تساوي صفرًا ، ${ displaystyle (3x + 1) (x-4)}$ = 0. الآن يبقى أن تساوي الصفر لكل تعبير بين قوسين. لماذا ا؟ النقطة المهمة هي أن المنتج يساوي صفرًا عندما يكون أحد العوامل على الأقل يساوي صفرًا. كما ${ displaystyle (3x + 1) (x-4)}$ يساوي صفرًا ، فإما (3x + 1) أو (x - 4) يساوي صفرًا. اكتب ${ displaystyle 3x + 1 = 0}$ و ${ displaystyle x-4 = 0}$.
4. 4 حل كل معادلة على حدة. في المعادلة التربيعية ، x لها معنيان. حل المعادلات واكتب قيم x:
   • حل المعادلة 3 س + 1 = 0
     • 3 س = -1 ..... عن طريق الطرح
     • 3x / 3 = -1/3 ..... بالقسمة
     • س = -1/3 ..... بعد التبسيط
   • حل المعادلة x - 4 = 0
     • س = 4 ..... بطرح
   • س = (-1/3 ، 4) ..... القيم الممكنة ، أي x = -1/3 أو x = 4.
5. 5 تحقق من x = -1/3 عن طريق إدخال هذه القيمة في (3x + 1) (x - 4) = 0:
   • (3 [-1/3] + 1) ([- 1/3] - 4)؟ =؟ 0 ..... بالتعويض
   • (-1 + 1) (- 4 1/3)؟ =؟ 0 ..... بعد التبسيط
   • (0) (- 4 1/3) = 0 ..... بعد الضرب
   • 0 = 0 ، إذن x = -1/3 هي الإجابة الصحيحة.
6. 6 تحقق من x = 4 بإدخال هذه القيمة في (3x + 1) (x - 4) = 0:
   • (3 [4] + 1) ([4] - 4)؟ =؟ 0 ..... بالتعويض
   • (13) (4 - 4)؟ =؟ 0 ..... بعد التبسيط
   • (13) (0) = 0 ..... بعد الضرب
   • 0 = 0 ، إذن x = 4 هي الإجابة الصحيحة.
   • وبالتالي ، كلا الحلين صحيحان.

طريقة 2 من 3: استخدام الصيغة التربيعية

1. 1 اجمع كل الحدود واكتب على أحد طرفي المعادلة. احفظ القيمة ${ displaystyle x ^ {2}}$ إيجابي. اكتب الحدود بترتيب الدرجات المتناقصة ، وبالتالي الحد ${ displaystyle x ^ {2}}$ تهجئة أولا ، ثم ${ displaystyle x}$ ثم ثابت:
   • 4 س - 5 س - 13 = س -5
   • 4 س - س - 5 س - 13 +5 = 0
   • 3 س - 5 س - 8 = 0
2. 2 اكتب صيغة جذور المعادلة التربيعية. تبدو الصيغة كما يلي: ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$
3. 3 حدد قيم a و b و c في معادلة تربيعية. عامل أ هو معامل المصطلح x ، ب - العضو العاشر ، ج - مستمر. للمعادلة 3 س -5 س - 8 = 0 ، أ = 3 ، ب = -5 ، ج = -8. اكتبه.
4. 4 عوّض بقيم a و b و c في المعادلة. بمعرفة قيم المتغيرات الثلاثة ، يمكنك تعويضها في المعادلة على النحو التالي:
   • {-b +/- √ (ب - 4ac)} / 2
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - 4(3)(-8))}/2(3) =
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3)
5. 5 عدها. عوّض بالقيم ، وبسّط الإيجابيات والسلبيات ، واضرب أو ربّع الحدود المتبقية:
   • {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3) =
   • {5 +/-√(25 + 96)}/6
   • {5 +/-√(121)}/6
6. 6 بسّط الجذر التربيعي. إذا كان الجذر التربيعي مربعًا ، فستحصل على عدد صحيح. إذا لم يكن كذلك ، فقم بتبسيطها لأبسط قيمة جذر. إذا كان الرقم سالبًا ، وأنت متأكد من أنه يجب أن يكون سلبيا، فإن الجذور ستكون معقدة. في هذا المثال √ (121) = 11. يمكنك كتابة ذلك x = (5 +/- 11) / 6.
7. 7 ابحث عن الحلول الإيجابية والسلبية. إذا قمت بإزالة علامة الجذر التربيعي ، يمكنك المتابعة حتى تجد قيم س موجبة وسالبة. بوجود (5 +/- 11) / 6 ، يمكنك كتابة:
   • (5 + 11)/6
   • (5 - 11)/6
8. 8 ابحث عن القيم الموجبة والسالبة. عد فقط:
   • (5 + 11)/6 = 16/6
   • (5-11)/6 = -6/6
9. 9 تبسيط. للقيام بذلك ، ما عليك سوى قسمة كلاهما على العامل المشترك الأكبر. قسّم الكسر الأول على 2 ، والثاني على 6 ، ستجد س.
   • 16/6 = 8/3
   • -6/6 = -1
   • س = (-1 ، 8/3)

طريقة 3 من 3: إكمال المربع

1. 1 انقل كل الحدود إلى أحد طرفي المعادلة.أ أو x يجب أن تكون موجبة. يتم ذلك على النحو التالي:
   • 2 س - 9 = 12 س =
   • 2 س - 12 س - 9 = 0
     • في هذه المعادلة أ: 2, ب: -12,ج: -9.
2. 2 عضو منتقل ج (دائم) على الجانب الآخر. الثابت هو مصطلح في معادلة تحتوي على قيمة عددية فقط ، بدون متغيرات.انقله إلى الجانب الأيمن:
   • 2 س - 12 س - 9 = 0
   • 2 س - 12 س = 9
3. 3 قسّم كلا الجزأين على عوامل أ أو x. إذا لم يكن لدى x معامل ، فإنه يساوي واحدًا ويمكن تخطي هذه الخطوة. في مثالنا ، نقسم كل الأعضاء على 2:
   • 2x / 2 - 12x / 2 = 9/2 =
   • س - 6 س = 9/2
4. 4 يقسم ب بمقدار 2 ، تربيع وتضاف إلى كلا الجانبين. في مثالنا ب يساوي -6:
   • -6/2 = -3 =
   • (-3) = 9 =
   • س - 6 س + 9 = 9/2 + 9
5. 5 بسّط كلا الجانبين. قم بتربيع الحدود على اليسار لتحصل على (x-3) (x-3) أو (x-3). أضف المصطلحات إلى اليمين لجعل 9/2 + 9 ، أو 9/2 + 18/2 ، وهو 27/2.
6. 6 استخرج الجذر التربيعي لكلا الجانبين. الجذر التربيعي لـ (x-3) هو ببساطة (x-3). يمكن كتابة الجذر التربيعي للعدد 27/2 بالشكل ± √ (27/2). وهكذا ، x - 3 = ± √ (27/2).
7. 7 بسّط التعبير الجذري وابحث عن x. لتبسيط ± √ (27/2) ، أوجد المربع الكامل في العددين 27 و 2 أو عواملهما. في 27 يوجد مربع كامل 9 ، لأن 9 × 3 = 27. لاستنتاج 9 من علامة الجذر ، خذ الجذر منه واطرح 3 من علامة الجذر. اترك 3 في بسط الكسر تحت علامة الجذر ، حيث لا يمكن استخراج هذا العامل ، واترك 2 أيضًا في الأسفل. بعد ذلك ، انقل الثابت 3 من الجانب الأيسر للمعادلة إلى الجانب الأيمن واكتب حلين من أجل x:
   • س = 3 + (6) / 2
   • س = 3 - (√6) / 2)

نصائح

• إذا لم يكن الرقم الموجود أسفل علامة الجذر مربعًا كاملًا ، فسيتم تنفيذ الخطوات القليلة الأخيرة بشكل مختلف قليلاً. هذا مثال:
• كما ترى ، لم تختف علامة الجذر. بهذه الطريقة ، لا يمكن الجمع بين الحدود في البسط. ثم لا جدوى من تقسيم الموجب أو السالب. بدلاً من ذلك ، نقسم أي عوامل مشتركة - لكن فقط إذا كان العامل المشترك للثابت و معامل الجذر.