المحتوى

• خطوات

تحتوي المعادلة المثلثية على واحد أو أكثر من الدوال المثلثية للمتغير "x" (أو أي متغير آخر). حل المعادلة المثلثية هو إيجاد مثل هذه القيمة "x" التي تفي بالوظيفة (الوظائف) والمعادلة ككل.

• يتم التعبير عن حلول المعادلات المثلثية بالدرجات أو الراديان. أمثلة:

س = π / 3 ؛ س = 5π / 6 ؛ س = 3π / 2 ؛ س = 45 درجة ؛ س = 37.12 درجة ؛ س = 178.37 درجة.

• ملاحظة: قيم الدوال المثلثية من الزوايا ، معبرًا عنها بالراديان ، ومن الزوايا ، معبرًا عنها بالدرجات ، متساوية. تُستخدم دائرة مثلثية نصف قطرها يساوي واحدًا لوصف الدوال المثلثية ، وكذلك للتحقق من صحة حل المعادلات المثلثية الأساسية والمتباينات.
• أمثلة على المعادلات المثلثية:
  • الخطيئة س + الخطيئة 2 س = 1/2 ؛ tg x + ctg x = 1.732 ؛
  • cos 3x + sin 2x = cos x ؛ 2sin 2x + cos x = 1.

1. دائرة مثلثية نصف قطرها واحد (دائرة الوحدة).
   • إنها دائرة نصف قطرها يساوي واحدًا ومركزها عند النقطة O. تصف دائرة الوحدة 4 دوال مثلثية أساسية للمتغير "x" ، حيث "x" هي الزاوية المقاسة من الاتجاه الإيجابي للمحور X عكس اتجاه عقارب الساعة.
   • إذا كانت "x" تمثل زاوية ما على دائرة الوحدة ، فحينئذٍ:
   • يحدد المحور الأفقي OAx الوظيفة F (x) = cos x.
   • يحدد المحور الرأسي OBy الوظيفة F (x) = sin x.
   • يحدد المحور الرأسي AT الدالة F (x) = tan x.
   • يحدد المحور الأفقي BU الوظيفة F (x) = ctg x.

• تُستخدم دائرة الوحدة أيضًا في حل المعادلات المثلثية الأساسية وعدم المساواة (يتم النظر في مواضع "x" المختلفة عليها).

خطوات

1. 1 مفهوم حل المعادلات المثلثية.
   • لحل المعادلة المثلثية ، قم بتحويلها إلى واحدة أو أكثر من المعادلات المثلثية الأساسية. ينتهي حل المعادلة المثلثية في النهاية إلى حل أربع معادلات مثلثية أساسية.
2. 2 حل المعادلات المثلثية الأساسية.
   • هناك 4 أنواع من المعادلات المثلثية الأساسية:
   • الخطيئة س = أ ؛ كوس س = أ
   • tg س = أ ؛ ctg x = أ
   • يتضمن حل المعادلات المثلثية الأساسية النظر إلى مواضع x المختلفة على دائرة الوحدة واستخدام جدول تحويل (أو آلة حاسبة).
   • مثال 1. sin x = 0.866. باستخدام جدول التحويل (أو الآلة الحاسبة) ، تحصل على الإجابة: x = π / 3. تعطي دائرة الوحدة إجابة أخرى: 2π / 3. تذكر: جميع الدوال المثلثية دورية ، أي أن قيمها تتكرر. على سبيل المثال ، دورية sin x و cos x تساوي 2πn ودورية tg x و ctg x تساوي πn. لذلك تكون الإجابة مكتوبة على النحو التالي:
   • x1 = π / 3 + 2πn ؛ x2 = 2π / 3 + 2πn.
   • مثال 2.cos x = -1/2. باستخدام جدول التحويل (أو الآلة الحاسبة) ، تحصل على الإجابة: x = 2π / 3. تعطي دائرة الوحدة إجابة أخرى: -2π / 3.
   • x1 = 2π / 3 + 2π ؛ x2 = -2π / 3 + 2π.
   • مثال 3.tg (x - π / 4) = 0.
   • الجواب: س = π / 4 + n.
   • مثال 4. ctg 2x = 1.732.
   • الجواب: س = π / 12 + n.
3. 3 التحويلات المستخدمة لحل المعادلات المثلثية.
   • لتحويل المعادلات المثلثية ، يتم استخدام التحويلات الجبرية (التحليل إلى عوامل ، تقليل المصطلحات المتجانسة ، إلخ) والهويات المثلثية.
   • مثال 5. باستخدام المتطابقات المثلثية ، يتم تحويل المعادلة sin x + sin 2x + sin 3x = 0 إلى المعادلة 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. وبالتالي ، تحتاج إلى حل المعادلات المثلثية الأساسية التالية: cos x = 0 ؛ الخطيئة (3 س / 2) = 0 ؛ كوس (س / 2) = 0.
     
     
4. 4 إيجاد الزوايا من القيم المعروفة للوظائف.
   • قبل تعلم طرق حل المعادلات المثلثية ، تحتاج إلى معرفة كيفية إيجاد الزوايا من القيم المعروفة للوظائف. يمكن القيام بذلك باستخدام جدول تحويل أو آلة حاسبة.
   • مثال: cos x = 0.732. ستعطي الآلة الحاسبة الإجابة س = 42.95 درجة. ستعطي دائرة الوحدة زوايا إضافية ، وجيب تمامها يساوي 0.732 أيضًا.
5. 5 ضع المحلول جانبًا على دائرة الوحدة.
   • يمكنك تأجيل الحلول للمعادلة المثلثية على دائرة الوحدة. حلول المعادلة المثلثية على دائرة الوحدة هي رؤوس المضلع المنتظم.
   • مثال: الحلول x = π / 3 + n / 2 على دائرة الوحدة هي رؤوس المربع.
   • مثال: الحلول x = π / 4 + n / 3 على دائرة الوحدة تمثل رؤوس شكل سداسي منتظم.
6. 6 طرق حل المعادلات المثلثية.
   • إذا كانت معادلة حساب مثلثية تحتوي على دالة حساب مثلثية واحدة فقط ، فقم بحل هذه المعادلة باعتبارها المعادلة المثلثية الأساسية.إذا تضمنت معادلة معينة وظيفتين أو أكثر من الوظائف المثلثية ، فهناك طريقتان لحل هذه المعادلة (اعتمادًا على إمكانية تحويلها).
     • طريقة 1.
   • حول هذه المعادلة إلى معادلة بالصيغة: f (x) * g (x) * h (x) = 0 ، حيث f (x) ، g (x) ، h (x) هي المعادلات المثلثية الأساسية.
     
     
   • مثال 6.2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2π)
   • المحلول. باستخدام صيغة الزاوية المزدوجة sin 2x = 2 * sin x * cos x ، استبدل sin 2x.
   • 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. الآن حل المعادلتين المثلثيتين الأساسيتين: cos x = 0 و (sin x + 1) = 0.
   • مثال 7.cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2π)
   • الحل: باستخدام المتطابقات المثلثية ، قم بتحويل هذه المعادلة إلى معادلة بالصيغة: cos 2x (2cos x + 1) = 0. الآن حل المعادلتين المثلثيتين الأساسيتين: cos 2x = 0 و (2cos x + 1) = 0.
   • مثال 8: sin x - sin 3x = cos 2x. (0 × 2π)
   • الحل: باستخدام المتطابقات المثلثية ، قم بتحويل هذه المعادلة إلى معادلة بالصيغة: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. الآن حل المعادلتين المثلثيتين الأساسيتين: cos 2x = 0 و (2sin x + 1) = 0.
     • الطريقة الثانية.
   • حول المعادلة المثلثية المعطاة إلى معادلة تحتوي على دالة مثلثية واحدة فقط. ثم استبدل هذه الدالة المثلثية ببعضها غير المعروفة ، على سبيل المثال ، t (sin x = t ؛ cos x = t ؛ cos 2x = t ، tg x = t ؛ tg (x / 2) = t ، إلخ).
   • مثال 9.3in ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2π).
   • المحلول. في هذه المعادلة ، استبدل (cos ^ 2 x) بـ (1 - sin ^ 2 x) (حسب الهوية). المعادلة المحولة هي:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. استبدل sin x بـ t. تبدو المعادلة الآن على النحو التالي: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. هذه معادلة من الدرجة الثانية بجذرين: t1 = -1 و t2 = 9/5. لا يفي الجذر الثاني t2 بمدى قيم الدالة (-1 sin x 1). قرر الآن: t = sin x = -1 ؛ س = 3π / 2.
   • مثال 10. tg x + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2
   • المحلول. استبدل tg x بـ t. أعد كتابة المعادلة الأصلية كما يلي: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. الآن أوجد t ثم أوجد x لـ t = tg x.
7. 7 المعادلات المثلثية الخاصة.
   • هناك العديد من المعادلات المثلثية الخاصة التي تتطلب تحولات محددة. أمثلة:
   • أ * الخطيئة س + ب * كوس س = ج ؛ أ (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c ؛
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. 8 دورية الدوال المثلثية.
   • كما ذكرنا سابقًا ، فإن جميع الدوال المثلثية دورية ، أي أن قيمها تتكرر بعد فترة معينة. أمثلة:
     • دورة الدالة f (x) = sin x هي 2π.
     • دورة الدالة f (x) = tan x تساوي π.
     • دورة الدالة f (x) = sin 2x هي π.
     • دورة الدالة f (x) = cos (x / 2) هي 4π.
   • إذا تم تحديد الفترة في المشكلة ، فاحسب القيمة "x" خلال هذه الفترة.
   • ملاحظة: حل المعادلات المثلثية ليس بالمهمة السهلة وغالبًا ما يؤدي إلى أخطاء. لذا تحقق من إجاباتك بعناية. للقيام بذلك ، يمكنك استخدام آلة حاسبة بيانية لرسم المعادلة المعطاة R (x) = 0. في مثل هذه الحالات ، سيتم تقديم الحلول ككسور عشرية (أي ، يتم استبدال π بـ 3.14).