المحتوى

• لتخطو
• طريقة 1 من 3: أول مهمة بسيطة
• الطريقة 2 من 3: حساب القيمة المتوقعة لنتيجة معينة
• طريقة 3 من 3: فهم المفهوم
• نصائح
• الضرورات

قيمة التوقع هي مصطلح إحصائي ، ومفهوم يستخدم لتقرير مدى فائدة أو ضرر إجراء ما. لحساب القيمة المتوقعة ، من الضروري اكتساب فهم جيد لكل نتيجة في حالة معينة والاحتمال المرتبط بها ، أو احتمال حدوث نتيجة معينة. تقدم الخطوات أدناه بعض الأمثلة على التمارين لمساعدتك على فهم مفهوم قيمة التوقع.

لتخطو

طريقة 1 من 3: أول مهمة بسيطة

1. اقرأ البيان. قبل أن تبدأ في التفكير في جميع النتائج والاحتمالات المحتملة ، من المهم أن تفهم المشكلة. على سبيل المثال لعبة نرد تكلفتها 10 يورو لكل لعبة. يتم دحرجة النرد السداسي مرة واحدة وتعتمد أرباحك على الرقم الذي تدحرجه. إذا تم رمي الرقم 6 ، فستربح 30 يورو ؛ 5 يكسب 20 يورو ؛ أي رقم آخر لا ينتج عنه أي شيء.
2. ضع قائمة بجميع النتائج الممكنة. يساعد على سرد جميع النتائج المحتملة في حالة معينة. في المثال أعلاه ، هناك 6 نتائج محتملة. هذه هي: (1) رمي 1 وستخسر 10 دولارات ، (2) رمي 2 وخسرت 10 دولارات ، (3) رمي 3 وتفقد 10 دولارات ، (4) رمي 4 وخسرت 10 دولارات ، (5) ارمي 5 واربح 10 دولارات ، (6) ارمي 6 واربح 20 دولارًا.
   • لاحظ أن كل نتيجة أقل بـ 10 يورو مما هو موصوف أعلاه ، حيث سيتعين عليك دفع 10 يورو لكل لعبة أولاً ، بغض النظر عن النتيجة.
3. حدد احتمال كل نتيجة. في هذه الحالة ، فإن احتمال أي 6 نتائج هو نفسه. احتمال ظهور رقم عشوائي هو 1 في 6. لتسهيل تدوين ذلك ، سنكتب الكسر (1/6) في صورة عدد عشري باستخدام الآلة الحاسبة: 0.167. اكتب هذا الاحتمال بجانب كل نتيجة ، خاصةً إذا كنت تريد حل مشكلة باحتمالات مختلفة لكل نتيجة.
   • قد تجعل الآلة الحاسبة 1/6 شيئًا مثل 0.166667. نقرب هذا إلى 0.167 لتسهيل الحساب دون التضحية بالدقة.
   • إذا كنت تريد نتيجة دقيقة جدًا ، فلا تجعلها رقمًا عشريًا ، فقط أدخل 1/6 في الصيغة واحسبها على الآلة الحاسبة.
4. سجل قيمة كل نتيجة. اضرب $ للنتيجة في احتمال حدوث النتيجة لحساب مقدار الأموال التي ستساهم بها هذه النتيجة في القيمة المتوقعة. على سبيل المثال ، نتيجة تدوير 1 هي - 10 دولارات واحتمال ظهور 1 هو 0.167. وبالتالي فإن قيمة رمي 1 هي (-10) * (0.167).
   • ليست هناك حاجة لحساب هذه النتائج الآن إذا كان لديك آلة حاسبة يمكنها إجراء عمليات متعددة في نفس الوقت. ستحصل على نتيجة أكثر دقة إذا أدخلت المعادلة بأكملها.
5. أضف قيمة كل نتيجة للحصول على القيمة المتوقعة لحدث ما. للمتابعة مع المثال أعلاه ، فإن قيمة توقع لعبة النرد هي: (-10 * 0.167) + (-10 * 0.167) + (-10 * 0.167) + (-10 * 0.167) + (10 * 0.167) + (20 * 0.167) أو - 1.67 يورو. لذلك يمكنك أن تتوقع خسارة 1.67 دولار في كل مرة في هذه اللعبة (لكل لعبة).
6. ما هي الآثار المترتبة على حساب القيمة المتوقعة. في المثال أعلاه ، قررنا أن الربح (الخسارة) المتوقع سيكون 1.67 يورو لكل رمية. هذه نتيجة مستحيلة لمباراة واحدة ؛ يمكنك خسارة 10 يورو أو ربح 10 يورو أو ربح 20 يورو. ولكن على المدى الطويل ، فإن القيمة المتوقعة هي احتمالية مفيدة ومتوسطة. إذا واصلت لعب هذه اللعبة ، فستخسر حوالي 1.67 دولارًا لكل لعبة في المتوسط. هناك طريقة أخرى للتفكير في القيمة المتوقعة وهي تخصيص تكاليف (أو فوائد) معينة للعبة ؛ يجب أن تلعب هذه اللعبة فقط إذا وجدت أنها تستحق ذلك ، استمتع بها بما يكفي لإنفاق 1.67 دولارًا عليها في كل مرة.
   • كلما تكرر الموقف أكثر ، زادت دقة القيمة المتوقعة في تمثيل النتيجة الفعلية والمتوسطة. على سبيل المثال ، ربما تلعب اللعبة 5 مرات متتالية وتخسر ​​كل مرة ، مما يؤدي إلى متوسط ​​خسارة 10 دولارات. ومع ذلك ، إذا لعبت اللعبة 1000 مرة أخرى ، فسيكون متوسط ​​النتيجة أقرب وأقرب إلى القيمة المتوقعة - 1.67 يورو لكل لعبة. يسمى هذا المبدأ "قانون الأعداد الكبيرة".

الطريقة 2 من 3: حساب القيمة المتوقعة لنتيجة معينة

1. استخدم هذه الطريقة لحساب متوسط ​​عدد العملات التي تحتاجها لقلبها قبل حدوث نمط معين. على سبيل المثال ، يمكنك استخدام هذه الطريقة لمعرفة العدد المتوقع للعملات المعدنية التي ستقلبها حتى تحصل على وجه مرتين على التوالي. هذه المشكلة أصعب قليلاً من مشكلة قياسية تتعلق بقيم التوقع ، لذا اقرأ الجزء أعلاه من هذه المقالة أولاً إذا لم تكن على دراية بمفهوم قيمة التوقع.
2. لنفترض أننا نبحث عن قيمة س. أنت تحاول تحديد عدد العملات التي يجب عليك قلبها في المتوسط ​​للحصول على رأسين على التوالي. نجري الآن مقارنة للعثور على الجواب. نسمي الإجابة التي نبحث عنها x. نجري المقارنة اللازمة خطوة بخطوة. لدينا حاليًا ما يلي:
   • س = ___
3. فكر فيما سيحدث إذا نتج عن الوجه الأول عملة معدنية. سيكون هذا هو الحال في نصف الحالات. إذا كان هذا هو الحال ، فقد "أهدرت" التدحرج ، في حين أن فرصة دحرجة الرأس مرتين على التوالي لم تتغير. كما هو الحال مع رمي العملة المعدنية ، من المتوقع أن تضطر إلى رمي متوسط ​​عدد المرات قبل أن تحصل على رأس مرتين على التوالي. بعبارة أخرى ، تتوقع أن تتدحرج x عدد مرات ، بالإضافة إلى تلك التي لعبتها بالفعل. في شكل معادلة:
   • س = (0.5) (س + 1) + ___
   • سنقوم بملء الفراغ بينما نستمر في التفكير في مواقف أخرى.
   • يمكنك استخدام الكسور بدلاً من الكسور العشرية إذا كان ذلك أسهل أو ضروريًا.
4. فكر فيما يحدث عندما ترمي رأسك. هناك احتمال 0.5 (أو 1/2) أن ترمي الكوب في المرة الأولى. يبدو أن هذا يقترب من هدف رمي الرأس مرتين على التوالي ، ولكن ما مقدار ذلك؟ أسهل طريقة لمعرفة ذلك هي التفكير في خياراتك في القائمة الثانية:
   • إذا كانت الإرمعة الثانية عبارة عن عملة معدنية ، فإننا نعود إلى البداية.
   • إذا كانت المرة الثانية أيضًا فنجانًا ، فقد انتهينا!
5. تعرف على كيفية حساب احتمال وقوع حدثين. نحن نعلم الآن أن لديك فرصة بنسبة 50٪ لرمي الكوب ، ولكن ما هي فرصة رمي الكوب مرتين على التوالي؟ لحساب هذا الاحتمال ، اضرب احتمال كليهما. في هذه الحالة يكون 0.5 × 0.5 = 0.25. بالطبع ، هذه أيضًا فرصة أن تقوم بتدوير الرؤوس ثم ذيول ، لأن كلاهما لديه فرصة 0.5 لحدوث: 0.5 × 0.5 = 0.25.
6. أضف نتيجة "رؤوس ثم ذيول" إلى المعادلة. الآن بعد أن حسبنا احتمال وقوع هذا الحدث ، يمكننا الانتقال إلى توسيع المعادلة. هناك احتمال 0.25 (أو 1/4) أننا سنهدر الرمي مرتين دون المضي قدمًا. لكننا الآن ما زلنا بحاجة إلى عدد x من الرميات في المتوسط ​​للحصول على النتيجة التي نريد الحصول عليها ، بالإضافة إلى 2 التي طرحناها بالفعل. في صيغة المعادلة ، يصبح هذا (0.25) (س + 2) ، والذي يمكننا الآن إضافته إلى المعادلة:
   • س = (0.5) (س + 1) + (0.25) (س + 2) + ___
7. أضف نتيجة "العنوان ، العنوان" إلى المعادلة. إذا دحرجت رأسك ، واتجه مع أول رميتين من العملات المعدنية ، تكون قد انتهيت. لقد حصلت على النتيجة في رميتين بالضبط. كما أشرنا سابقًا ، هناك فرصة 0.25 لحدوث ذلك ، وبالتالي فإن المعادلة الخاصة بذلك هي (0.25) (2). مقارنتنا مكتملة الآن:
   • س = (0.5) (س + 1) + (0.25) (س + 2) + (0.25) (2)
   • إذا لم تكن متأكدًا من أنك فكرت في كل موقف ممكن ، فهناك طريقة سهلة للتحقق من اكتمال المعادلة. يمثل الرقم الأول في كل جزء من المعادلة احتمال وقوع حدث ما. سيضيف هذا دائمًا ما يصل إلى 1. هنا ، 0.5 + 0.25 + 0.25 = 1 ، لذلك نعلم أننا قمنا بتضمين كل موقف.
8. بسّط المعادلة. لنجعل المعادلة أسهل قليلاً عن طريق الضرب. تذكر ، إذا رأيت شيئًا ما بين قوسين مثل هذا: (0.5) (x + 1) ، فإنك تضرب 0.5 في كل حد موجود في المجموعة الثانية من الأقواس. يمنحك هذا ما يلي: 0.5x + (0.5) (1) أو 0.5x + 0.5. لنفعل ذلك لكل حد في المعادلة ، ثم نجمع هذه المصطلحات بحيث تبدو كلها أبسط قليلاً:
   • س = 0.5 س + (0.5) (1) + 0.25 س + (0.25) (2) + (0.25) (2)
   • س = 0.5 س + 0.5 + 0.25 س + 0.5 + 0.5
   • س = 0.75 س + 1.5
9. حل ل x. كما هو الحال في أي معادلة ، ستحتاج إلى عزل x في أحد طرفي المعادلة لحسابها. تذكر أن x تعني "متوسط ​​عدد العملات التي تحتاج إلى رميها للحصول على الوجه مرتين على التوالي." عند حساب x ، وجدنا إجابتنا أيضًا.
   • س = 0.75 س + 1.5
   • س - 0.75 س = 0.75 س + 1.5 - 0.75 س
   • 0.25x = 1.5
   • (0.25 ×) / (0.25) = (1.5) / (0.25)
   • س = 6
   • في المتوسط ​​، سيكون عليك رمي عملة معدنية 6 مرات قبل رمي الرأس مرتين.

طريقة 3 من 3: فهم المفهوم

1. ما هي القيمة المتوقعة في الواقع. قيمة التوقع ليست بالضرورة النتيجة الأكثر وضوحًا أو منطقية. في بعض الأحيان يمكن أن تكون قيمة التوقع قيمة مستحيلة في موقف معين. على سبيل المثال ، يمكن أن تكون القيمة المتوقعة + 5 يورو للعبة بجائزة لا تزيد عن 10 يورو. ما تشير إليه قيمة التوقع هو مقدار القيمة التي يمتلكها حدث معين. إذا كانت قيمة اللعبة متوقعة + 5 يورو ، فيمكنك لعبها إذا شعرت أنها تستحق الوقت والمال الذي يمكنك الحصول عليه لكل لعبة. إذا كانت هناك لعبة أخرى بقيمة متوقعة - 20 دولارًا ، فلن تلعبها إلا إذا كنت تعتقد أن كل لعبة تساوي 20 دولارًا.
2. فهم مفهوم الأحداث المستقلة. في الحياة اليومية ، يعتقد الكثير منا أن لدينا يومًا محظوظًا عندما تحدث بعض الأشياء الجيدة ، ونتوقع أن تسير بقية اليوم على هذا النحو.وبنفس الطريقة ، يمكننا أن نعتقد أن لدينا ما يكفي من الحوادث وأن هناك شيئًا ممتعًا يجب فعله الآن. رياضيا ، الأمور لا تسير على هذا النحو. إذا رميت عملة عادية ، فهناك فرصة مماثلة تمامًا لرمي رأس أو عملة معدنية. لا يهم عدد المرات التي رميت فيها بالفعل ؛ في المرة القادمة التي ترميها لا تزال تعمل بنفس الطريقة. قرعة العملة "مستقلة" عن الرميات الأخرى ، ولا تتأثر بها.
   • الاعتقاد بأنك قد تكون محظوظًا أو سيئ الحظ عند رمي العملات المعدنية (أو أي لعبة حظ أخرى) ، أو حقيقة أن كل حظك السيئ قد انتهى الآن وأن الحظ في صفك يسمى أيضًا غش المقامر (أو مغالطة المقامر). هذا له علاقة بميل الناس إلى اتخاذ قرارات محفوفة بالمخاطر أو غبية عندما يشعرون أن الحظ في صالحهم ، أو إذا شعروا بـ "خط الحظ" أو إذا شعروا أن "حظهم على وشك التحول".
3. افهم قانون الأعداد الكبيرة. قد تعتقد أن قيمة التوقع ليست مفيدة حقًا ، لأنها نادرًا ما تخبرك بالنتيجة الفعلية للموقف. إذا كنت قد حسبت أن القيمة المتوقعة للعبة الروليت هي - 1 يورو ، ولعبت اللعبة 3 مرات ، فعادة ما ينتهي بك الأمر بـ - 10 يورو ، أو + 60 يورو ، أو بعض النتائج الأخرى. يساعد "قانون الأعداد الكبيرة" في تفسير سبب كون قيمة التوقع أكثر فائدة مما قد تعتقد: كلما لعبت أكثر ، كلما اقتربت النتيجة المتوسطة من القيمة المتوقعة. عندما تنظر إلى الأعداد الكبيرة من الأحداث ، هناك فرصة جيدة أن تكون النتيجة النهائية قريبة من القيمة المتوقعة.

نصائح

• بالنسبة لتلك المواقف التي يمكن فيها الحصول على نتائج متعددة ، يمكنك إنشاء جدول بيانات في الكمبيوتر لحساب القيمة المتوقعة باستخدام النتائج واحتمالاتها.
• تعمل حسابات € أعلاه أيضًا بعملات أخرى.

الضرورات

• قلم
• ورق
• آلة حاسبة